od Daniel » Nedelja, 27. Maj 2018, 15:25
Tako je, [inlmath]2^n[/inlmath] mogućnosti. Znači, svaka od mogućih kombinacija naći će se među ponuđenim odgovorima, i nijedna od mogućih kombinacija ne može se pojaviti u dva ili više ponuđena odgovora.
Hajde za početak da razmotrimo koliko prisutnih će pogoditi broj na svih [inlmath]n[/inlmath] kartica. Odgovor je, naravno – jedna osoba (kao što si i zaključio), jer pošto su svi dali odgovore za različite kombinacije, i pošto su svim odgovorima pokrivene sve moguće kombinacije, to znači da će onu „pravu“ kombinaciju imati tačno jedna osoba.
Isti je odgovor i ako pitamo koliko prisutnih će pogoditi broj na [inlmath]0[/inlmath] kartica. Jedna osoba, jer će uvek postojati jedna osoba koja će u svom odgovoru imati sve komplementarne brojeve od onog tačnog. Npr. ako je stanje [inlmath]10010[/inlmath], tačno jedna osoba će imati odgovor [inlmath]01101[/inlmath].
Zasad, dakle, imamo odgovore za sledeće slučajeve:
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\begin{matrix} \text{Broj karata}\\ \text{koje treba pogoditi} \end{matrix} & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & x & \cdots & n-2 & n-1 & n\\ \hline
\begin{matrix} \text{Broj osoba koje će pogoditi}\\ \text{zadati broj karata} \end{matrix} & 1 & & & & \cdots & & \cdots & & & 1
\end{array}[/dispmath] Sad za nijansu teže pitanje – koliko prisutnih će pogoditi broj na tačno [inlmath]n-1[/inlmath] kartica (tj. na svim pozicijama osim na jednoj). Tačno jedna osoba će pogrešiti broj na prvoj poziciji a brojeve na svim ostalim pozicijama pogoditi; zatim, tačno jedna osoba će pogrešiti broj na drugoj poziciji a brojeve na svim ostalim pozicijama pogoditi... i tako do [inlmath]n[/inlmath]-te pozicije. Zaključujemo da će [inlmath]n[/inlmath] osoba pogoditi broj na tačno [inlmath]n-1[/inlmath] kartica.
Analogno, kao i u prethodnom slučaju, posmatrajući komplementarne brojeve zaključujemo i da će [inlmath]n[/inlmath] osoba pogoditi tačno jedan broj:
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\begin{matrix} \text{Broj karata}\\ \text{koje treba pogoditi} \end{matrix} & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & x & \cdots & n-2 & n-1 & n\\ \hline
\begin{matrix} \text{Broj osoba koje će pogoditi}\\ \text{zadati broj karata} \end{matrix} & 1 & n & & & \cdots & & \cdots & & n & 1
\end{array}[/dispmath] Već sada možemo naslutiti nekakvu simetričnost rezultata u odnosu na polovinu broja [inlmath]n[/inlmath] (tj. [inlmath]1,n,\cdots, n,1[/inlmath]).
Idmeo dalje. Koliko prisutnih će pogoditi broj na tačno [inlmath]n-2[/inlmath] kartica (tj. na svim pozicijama osim na dve)? Ako sa [inlmath]-[/inlmath] označimo promašen broj na kartici a sa [inlmath]+[/inlmath] pogođen broj na kartici, imamo da će tačno jedna osoba dati odgovor [inlmath]--+++\cdots++[/inlmath], tačno jedna će dati odgovor [inlmath]-+-++\cdots++[/inlmath]... Tačno jedna će dati odgovor [inlmath]+--++\cdots++[/inlmath] itd. Znači, pitanje možemo svesti na to na koliko načina možemo ova dva minusa rasporediti na ukupno [inlmath]n[/inlmath] pozicija (tj. na koliko načina od ukupno [inlmath]n[/inlmath] pozicija možemo odabrati one na kojima odgovor treba da bude pogrešan, a na svim ostalim tačan). To su kombinacije bez ponavljanja od [inlmath]n[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase, a njihov broj je [inlmath]n\choose2[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\begin{matrix} \text{Broj karata}\\ \text{koje treba pogoditi} \end{matrix} & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & x & \cdots & n-2 & n-1 & n\\ \hline
\begin{matrix} \text{Broj osoba koje će pogoditi}\\ \text{zadati broj karata} \end{matrix} & 1 & n & & & \cdots & & \cdots & \displaystyle{n\choose2} & n & 1
\end{array}[/dispmath] Bi li umeo sad odavde da izvedeš izraz i za ostale slučajeve, kao i za onaj opšti (koji se u zadatku traži) da je potrebno pogoditi broj za tačno [inlmath]x[/inlmath] kartica? Možeš se služiti osobinom binomnog koeficijenta da je [inlmath]{n\choose n-k}={n\choose k}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain