od nadja » Utorak, 02. Avgust 2022, 13:49
Pozdrav svima, evo kako sam ja razmišljala:
Dakle, kao što ste već rekli, od skupa [inlmath]\{A,B,C,D,E,F\}[/inlmath] se mogu načiniti [inlmath]{6\choose 3} = 20[/inlmath] podskupa od 3 elementa.
E sad, da bih izračunala koliko riječi možemo napraviti od ta 3 elementa koristila sam onu formulu za izračunavanje n-varijacija tipa
[inlmath](k_1,k_2...,k_m)[/inlmath] pri čemu je [inlmath]k_1 + k_2 + .... +k_m = n[/inlmath] koja glasi [dispmath]\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}[/dispmath]
Znači, uzmimo samo za primjer podskup [inlmath]\{A,B,C\}[/inlmath].
Prvi tip je [inlmath](5,0,0)[/inlmath], tj. [inlmath]A[/inlmath] se ponavlja 5 puta. Takvih varijacija ima [inlmath]\frac{5!}{5!} = 1[/inlmath]. S obzirom da ovu peticu gore možemo rasporediti na 3 načina (tj. imamo još tipove [inlmath](0,5,0)[/inlmath]-> B se ponavlja 5 puta i [inlmath](0,0,5)[/inlmath]-> C se ponavlja 5 puta), riječi gdje se svako slovo pojavljuje 5 puta [inlmath](AAAAA,\enspace BBBBB,\enspace CCCCC[/inlmath]) je 3.
Hajdemo dalje:
Sljedeći tip je [inlmath](1,4,0)[/inlmath]-> [inlmath]A[/inlmath] se pojavljuje 1, a [inlmath]B[/inlmath] 4 puta. Takvih rasporeda ima [inlmath]\frac{5!}{1!4!}=5[/inlmath]. S obzirom da gore navedenu jedinicu i četvorku možemo rasporediti na [inlmath]3!=6[/inlmath] načina(tj. imamo još ove tipove: (4,1,0), (1,0,4), (4,0,1) i sve ostale moguće varijacije), a za svaki tip imamo 5 riječi, ukupno imamo [inlmath]5\cdot6=30[/inlmath] riječi gdje se 1 slovo ponavlja 4 puta, drugo se pojavljuje samo jednom, a treće se uopšte ne pojavljuje.
Sljedeći tip je [inlmath](2,3,0)[/inlmath]. Ovakvih riječi imamo [inlmath]\frac{5!}{2!3!}=10[/inlmath]. Pošto ovakvih tipova (sa 2 i 3) imamo ukupno [inlmath]3!=6[/inlmath]. Imamo [inlmath]6\cdot10=60[/inlmath] ovakvih riječi.
Sljedeći tip je [inlmath](1,1,3)[/inlmath]. Ovakvih riječi je [inlmath]\frac{5!}{1!1!3!}=20[/inlmath]. Ovakih tipova(sa 2 jedinice i tricom) ima [inlmath]{3\choose1}=3[/inlmath]. Znači, ovakvih riječi imamo [inlmath]3\cdot20=60[/inlmath]
I ostao nam je još samo jedan tip [inlmath](1,2,2)[/inlmath]. Ovakvih riječi je [inlmath]\frac{5!}{1!2!2!}=30[/inlmath]. Ovakvih tipova (sa jedinicom i 2 dvice) ima [inlmath]{3\choose1}=3[/inlmath](tj. pored prve varijacije imamo još:[inlmath](2,1,2), (2,2,1)[/inlmath]). Znači ukupno ih ima: [inlmath]3\cdot30=90[/inlmath]
E sad dolazimo do najvažnijeg dijela: rezultata.
Ako se ne moraju sva slova iz podskupa pojaviti u riječi, onda ih imamo: [dispmath]20\cdot(90+60+60+30)=4800[/dispmath]
Ako to nije dozvoljno, onda imamo(kao što je Mia čini mi se izračunala): [dispmath]20\cdot(90+60)=3000[/dispmath]
Znam da je malo konfuzno, tako da me slobodno pitajte ako vam šta nije jasno, potrudiću se da što prije odgovorim. Pozdrav!