Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Broj preseka pravih (zadatak sa ispita)

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Broj preseka pravih (zadatak sa ispita)

Postod Marinko » Četvrtak, 30. Avgust 2018, 15:45

U ravni je dato [inlmath]n\ge4[/inlmath] tacaka i kroz svake dve od njih je konstruisana prava. Ako nikoje dve od ovih pravih nisu paralelne i nikoje tri se ne seku u jednoj tacki, naći broj presečnih tačaka (ne racunajuci zadate tacke)?

[inlmath]C(n,2)[/inlmath] – ukupan broj pravih koje možemo formirati od [inlmath]n[/inlmath] tacaka

[inlmath]C\bigl(C(n,2),2\bigr)[/inlmath] – broj tacaka koje možemo formirati sa tih [inlmath]n[/inlmath] pravih

i sta dalje?

Unapred hvala
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 01. Septembar 2018, 01:12, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
Marinko  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Broj preseka pravih (zadatak sa ispita)

Postod Daniel » Subota, 01. Septembar 2018, 01:12

Marinko je napisao:[inlmath]C\bigl(C(n,2),2\bigr)[/inlmath] – broj tacaka koje možemo formirati sa tih [inlmath]n[/inlmath] pravih

Ovako neće ići, jer se prave seku i u onih [inlmath]n[/inlmath] tačaka koje su zadate, pri čemu se u svakoj od tih [inlmath]n[/inlmath] tačaka seče [inlmath]n-1[/inlmath] pravih.
Tvoje razmišljanje bi bilo ispravno onda kada bi se u svakoj tački sekle tačno dve prave.

Možeš uočiti da svake četiri tačke obrazuju četvorougao čije dve naspramne stranice, kad se produže, određuju jednu tačku preseka. Pošto kod četvorougla imamo dva para naspramnih stranica, to onda imamo dve presečne tačke. Treću presečnu tačku dobijamo u preseku dijagonala tog četvorougla. Dakle, svake četiri od [inlmath]n[/inlmath] zadatih tačaka određuju po tri presečne tačke. Prema tome, da bismo dobili traženi broj presečnih tačaka, potrebno je broj načina na koji možemo izabrati neke četiri tačke pomnožiti brojem tri.

Može i malo komplikovanije (ali će se dobiti isti rezultat). Kao što već napisah, u bilo kojoj od [inlmath]n[/inlmath] zadatih tačaka seče se [inlmath]n-1[/inlmath] pravih (prave određene tom tačkom i nekom od preostalih [inlmath]n-1[/inlmath] tačaka). Ako posmatramo bilo koju od ukupno [inlmath]n\choose2[/inlmath] pravih, koja je određena tačkama [inlmath]A_k[/inlmath] i [inlmath]A_l[/inlmath], gde su [inlmath]A_k[/inlmath] i [inlmath]A_l[/inlmath] neke od onih [inlmath]n[/inlmath] zadatih tačaka, vidimo da se ta prava, od ukupno preostalih [inlmath]{n\choose2}-1[/inlmath] pravih, seče u tački [inlmath]A_k[/inlmath] sa [inlmath]n-2[/inlmath] pravih i seče se u tački [inlmath]A_l[/inlmath] sa [inlmath]n-2[/inlmath] pravih, dok se s preostalih [inlmath]{n\choose2}-1-(n-2)-(n-2)[/inlmath] pravih seče van zadatih tačaka. To znači, ako broj pravih, [inlmath]n\choose2[/inlmath], pomnožimo brojem [inlmath]{n\choose2}-1-(n-2)-(n-2)[/inlmath], dobićemo dvostruki broj traženih presečnih tačaka (zašto dvostruki – zato što smo time svaku tačku računali dva puta, prvi put kao presek jedne prave s drugom, a drugi put kao presek te druge prave s prvom). Znači, ukupan broj presečnih tačaka ne računajući onih [inlmath]n[/inlmath] zadatih, bio bi
[dispmath]\frac{{n\choose2}\Bigl({n\choose2}-1-(n-2)-(n-2)\Bigr)}{2}[/dispmath] što se dalje može uprostiti tako da se dobije isti onaj izraz koji si dobio na prvi način, ukoliko si uradio ispravno.

Latex je na ovom forumu obavezan (tačka 13. Pravilnika). Molim te da ga ubuduće koristiš.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 42 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 12:42 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs