Raspored plitkih i dubokih tanjira

PostPoslato: Subota, 20. April 2019, 18:48
od Marinko
U restoranu ima [inlmath]n[/inlmath] istih plitkih i [inlmath]n[/inlmath] istih dubokih tanjira. Konobar mora da postavi [inlmath]n[/inlmath] numerisanih mesta, mesto je postavljeno ako se na njemu nalazi plitki i duboki tanjir (duboki tanjir mora stajati na plitkom). Na koliko nacina konobar moze to da odradi?

Duboki: [inlmath]1,1,1,1, \dots, 1[/inlmath] Plitkih: [inlmath]2,2,2,2, \dots, 2[/inlmath]. Sada posmatramo sve moguce pemutacije niza od [inlmath](n+n)[/inlmath] elemenata i imamo ih [inlmath](2n)![/inlmath]. Imamo [inlmath]n[/inlmath] istih dubokih i [inlmath]n[/inlmath] istih plitkih tanjira, pa buo. ako je [inlmath]n=3[/inlmath] jedna od permutacija je:
[inlmath]1,2,1,1,2,2[/inlmath]. Pa samim tim da bismo izbegli iste kombinacije moramo njih eliminisati pa trenutni rezultat je: [inlmath]\frac{2n!}{(n!)^{2}}[/inlmath]i jos za svako mesto eliminisemo kad je postavljeno plitki stoji na dubokom pa je rezultat: [inlmath]\frac{2n!}{(n!)^{2}\cdot (2!)^{n}}[/inlmath]

da li je ovo dobro razmisljanje da se posmatraju tanjiri ili da se vezem za numeraciju stolova

Re: Raspored plitkih i dubokih tanjira

PostPoslato: Subota, 27. April 2019, 20:31
od Daniel
Ako sam ja dobro razumeo zadatak, onda, budući da su svi plitki tanjiri međusobno isti, i svi duboki tanjiri međusobno isti, postoji samo jedan način na koji konobar može da postavi [inlmath]n[/inlmath] numerisanih mesta (tako da na svakom od [inlmath]n[/inlmath] mesta dubok tanjir stoji na plitkom).
Druga bi stvar bila kada bi plitki tanjiri bili međusobno različiti, i/ili kada bi duboki tanjiri bili međusobno različiti.

A ovaj međurezultat koji si napisao,
Marinko je napisao:[inlmath]\frac{2n!}{(n!)^2}[/inlmath]

pod pretpostavkom da si umesto [inlmath]2n![/inlmath] hteo da napišeš [inlmath](2n)![/inlmath], predstavljao bi broj mogućnosti ako pod postavljenim stolom podrazumevamo sto s bilo koja dva tanjira.