Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Broj funkcija

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Broj funkcija

Postod njutn_mladji » Subota, 01. Jun 2019, 16:05

Zdravo.
Zadatak: "Neka je [inlmath]X=\{1,2,3,4,5\}[/inlmath]. Koliko ima funkcija [inlmath]f\colon X\to X[/inlmath] za koje važ [inlmath]f=f^{-1}[/inlmath]"?

Resenja [inlmath]A-1[/inlmath]; [inlmath]B-5[/inlmath]; [inlmath]C-26[/inlmath]; [inlmath]D-16[/inlmath]; [inlmath]E-120[/inlmath].
Tačan odgovor je [inlmath]C[/inlmath].

Ja mislim da bi ovo trebalo biti bijektivno preslikavanje te odmah nalazi jedno - da sa svaki element slika u samog sebe. Onda od [inlmath]5[/inlmath] biram [inlmath]2[/inlmath] tako da izabrem pocetni par npr. [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] tako da se [inlmath]1\to2[/inlmath] i [inlmath]2\to1[/inlmath]; pa onda [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] tako da [inlmath]1\to3[/inlmath] i [inlmath]3\to1[/inlmath] ...na kraju [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath] tako da [inlmath]5\to4[/inlmath] i [inlmath]4\to5[/inlmath]. Dakle od [inlmath]5[/inlmath] biram [inlmath]2[/inlmath] i mnozim sa [inlmath]4[/inlmath] (svaki od preostala [inlmath]3[/inlmath] se slika u samog sebe ([inlmath]1[/inlmath] nacin) i biram dva koja se slikaju jedan u drugog (od [inlmath]3[/inlmath] biram [inlmath]2[/inlmath]). To će biti [inlmath]1+\frac{5\cdot4}{2}\cdot4=31[/inlmath]. Jasno mi je da sam ukljucio neke po dva put ali ne mogu to da korigujem. Molim za pomoć.

P.S. Naravno ne morate se voditi ovom idejom. :D
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 01. Jun 2019, 20:41, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Broj funkcija

Postod Daniel » Subota, 01. Jun 2019, 20:52

Molim te da koristiš Latex. Budući da si pitanje lepo postavio, kao novom korisniku sam ti ovaj put progledao kroz prste i dodao Latex u tvoj post.

Da, neke slučajeve si računao dvaput. Kad odabereš jedan par na [inlmath]5\choose2[/inlmath] načina, a zatim drugi par na [inlmath]3\choose2[/inlmath] načina, dobijaš dvaput veći broj slučajeva od stvarnog. Npr. kad prvo odabereš [inlmath]1\to3[/inlmath] i [inlmath]3\to1[/inlmath] a zatim [inlmath]2\to5[/inlmath] i [inlmath]5\to2[/inlmath], to je isti slučaj kao da si prvo odabrao [inlmath]2\to5[/inlmath] i [inlmath]5\to2[/inlmath] a zatim [inlmath]1\to3[/inlmath] i [inlmath]3\to1[/inlmath].

Imali smo vrlo sličan zadatak pre dva meseca, u kojem je sve to izvedeno i za opšti slučaj od [inlmath]n[/inlmath] elemenata.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj funkcija

Postod njutn_mladji » Subota, 01. Jun 2019, 22:33

Hvala na odgovoru mada ja jos nisam bas upućen sa sredstvima koja se tamo koriste i nije mi bas najjasnije :( . Racunao sam nesto po dva put ali izgleda nisam sve jer bi mi odgovor onda bio [inlmath]\frac{30}{2}=15[/inlmath] plus onaj jedan [inlmath]15+1=16[/inlmath].
Mada u rešenju se ipak navodi [inlmath]26[/inlmath].
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Broj funkcija

Postod Daniel » Ponedeljak, 03. Jun 2019, 14:07

Znači, imaš tri vrste mogućih funkcija koje zadovoljavaju dati uslov:
  • funkcija kod koje se svaki element slika u samog sebe (postoji jedna takva funkcija – [inlmath]f(x)=x[/inlmath]);
  • funkcije s jednim „ukrštenim parom“ pri čemu se preostala tri elementa slikaju sami u sebe (možeš se poslužiti slikom u ovom postu) – takvih funkcija ima [inlmath]5\choose2[/inlmath];
  • funkcije s dva „ukrštena para“ pri čemu se jedan preostali element slika u samog sebe – ako bismo broj tih funkcija računali po formuli [inlmath]{5\choose2}{3\choose2}[/inlmath] dobili bismo dvaput veći broj funkcija od stvarnog (iz razloga koji sam naveo u svom prethodnom postu), pa je ovaj broj potrebno još podeliti sa [inlmath]2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj funkcija

Postod njutn_mladji » Utorak, 04. Jun 2019, 17:29

Hvala.
Sad je jasno :)
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 44 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 15:58 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs