Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Binomni koeficijenti, odrediti vrednosti n i k

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Binomni koeficijenti, odrediti vrednosti n i k

Postod jovanpametnica » Subota, 01. Jun 2019, 17:57

[dispmath]{n\choose k-1}=3003\\
{n\choose k}=2002[/dispmath] treba odrediti vrednosti od [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath]
pokusao sam uraditi ovaj zadatak na par nacina nijedan nije bio uspesan
zamolio bih ako neko zna uraditi ovaj zadatak da mi da neku ideju
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 01. Jun 2019, 22:46, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Binomni koeficijenti, odrediti vrednosti n i k

Postod Jovan111 » Subota, 01. Jun 2019, 19:52

Pozdrav! Treba znati da važi
[dispmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/dispmath] pri čemu je [inlmath]0\le k\le n[/inlmath].



Ako primenimo prethodnu formulu, imamo
[dispmath]{n\choose k-1}=\frac{n!}{\bigl(n-(k-1)\bigr)!(k-1)!}=\frac{n!}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}[/dispmath] Sada je ideja da jednačine
[dispmath]\frac{n!}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}=3003\;\land\;\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}=2002[/dispmath] podelimo, te dobijamo
[dispmath]\frac{\frac{\cancel{n!}}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}}{\frac{\cancel{n!}}{\left(n-k\right)!k!}}=\frac{3003}{2002}\iff\frac{\left(n-k\right)!k!}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}=\frac{3}{2}[/dispmath] Sada možemo raspisati [inlmath]k!=k\cdot(k-1)![/inlmath], kao i [inlmath](n-k+1)!=(n-k+1)(n-k)![/inlmath], što ćemo uvrstiti:
[dispmath]\frac{\left(n-k\right)!k!}{\left(n-k+1\right)!(k-1)!}=\frac{3}{2}\iff\frac{\cancel{\left(n-k\right)!}k\cdot\cancel{(k-1)!}}{(n-k+1)\cancel{(n-k)!}\cancel{(k-1)!}}=\frac{3}{2}[/dispmath][dispmath]\Longrightarrow\;\frac{k}{n-k+1}=\frac{3}{2}\tag1[/dispmath] Odavde možemo zaključiti da je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], to jest da se može napisati kao [inlmath]k=3l[/inlmath]. Sa druge strane, ako iskoristimo [inlmath](1)[/inlmath] dobićemo da je
[dispmath]n=\frac{5k-3}{3}=\frac{15l-3}{3}=5l-1[/dispmath] Kako znamo da su nam polazne jednačine bile
[dispmath]{n\choose k-1}=3003\;\land\;{n\choose k}=2002[/dispmath] a [inlmath]2002[/inlmath] i [inlmath]3003[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]13[/inlmath], onda mora biti i [inlmath]n\ge13[/inlmath], to jest (pošto je [inlmath]n=5l-1[/inlmath]) [inlmath]l\ge3[/inlmath]. Ako bi probali najmanju vrednost [inlmath]l=3[/inlmath], tada bi rešenja bila [inlmath]n=14[/inlmath] i [inlmath]k=9[/inlmath]. Pretpostavljam da je ovo rešenje :aureola:
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 161 puta

Re: Binomni koeficijenti, odrediti vrednosti n i k

Postod jovanpametnica » Subota, 01. Jun 2019, 21:18

hvala ti Jovan111
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Binomni koeficijenti, odrediti vrednosti n i k

Postod jovanpametnica » Subota, 01. Jun 2019, 21:38

ako nije problem nisam razumeo kako si zakljucio da je
[dispmath]n=\frac{5k-3}{3}=\frac{15l-3}{3}=5l-1[/dispmath] i takodje deo gde si rekao "onda mora biti i [inlmath]n\ge13[/inlmath], to jest (pošto je [inlmath]n=5l-1[/inlmath]) [inlmath]l\ge3[/inlmath]"

hvala ti unapred
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Binomni koeficijenti, odrediti vrednosti n i k

Postod Jovan111 » Subota, 01. Jun 2019, 22:52

Jovan111 je napisao:[dispmath]\Longrightarrow\;\frac{k}{n-k+1}=\frac{3}{2}\tag1[/dispmath] Odavde možemo zaključiti da je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], to jest da se može napisati kao [inlmath]k=3l[/inlmath].

Pretpostavljam da si shvatio ovaj deo mog prethodnog posta. Sada ako uvrstiš u izraz označen sa [inlmath](1)[/inlmath] da je [inlmath]k=3l[/inlmath] imao bi:
[dispmath]\frac{3l}{n-3l+1}=\frac{3}{2}\iff6l=3n-9l+3\iff n=\frac{15l-3}{3}=5l-1[/dispmath] Nadam se da ti je sada jasnije kako smo odredili da je [inlmath]n=5l-1[/inlmath].



Jovan111 je napisao:Kako znamo da su nam polazne jednačine bile
[dispmath]{n\choose k-1}=3003\;\land\;{n\choose k}=2002[/dispmath] a [inlmath]2002[/inlmath] i [inlmath]3003[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]13[/inlmath], onda mora biti i [inlmath]n\ge13[/inlmath], to jest (pošto je [inlmath]n=5l-1[/inlmath]) [inlmath]l\ge3[/inlmath].

Ako ti ovo nije jasno, pogledajmo primer:
[dispmath]{{\color{red}14}\choose 7}=3432[/dispmath] Ovaj binomni koeficijent daje rezultat [inlmath]3432[/inlmath]. Broj [inlmath]3432[/inlmath] može se prikazati preko svojih prostih činilaca kao [inlmath]3432=2^3\cdot3\cdot11\cdot13[/inlmath]. Primetimo da je broj [inlmath]14[/inlmath], koji je analogan broju [inlmath]n[/inlmath] u binomnom koeficijentu [inlmath]n\choose k[/inlmath], veći od svih prostih činilaca broja [inlmath]3432[/inlmath]! Tako je i [inlmath]n[/inlmath] u jednakostima:
[dispmath]{n\choose k-1}=3003\;\land\;{n\choose k}=2002[/dispmath] morao biti veći (ili jednak) od svih prostih činilaca brojeva [inlmath]3003=3\cdot7\cdot11\cdot13[/inlmath] i [inlmath]2002=2\cdot7\cdot11\cdot13[/inlmath]. Kako je najveći od pomenutih prostih činilaca [inlmath]13[/inlmath], zaključujemo da je [inlmath]n\ge13[/inlmath]. Tada je i više nego jasno da je [inlmath]l[/inlmath] u najmanju ruku jednako [inlmath]3[/inlmath], a može biti i veće od [inlmath]3[/inlmath].



Ako ti je teže da ovako nešto odmah zaključiš možeš proveriti ručno, za [inlmath]l=1[/inlmath], [inlmath]l=2[/inlmath], [inlmath]l=3[/inlmath], ...
  • Ako bi uzeo [inlmath]l=1[/inlmath], onda bi imao [inlmath]k=3l=3[/inlmath] i [inlmath]n=5l-1=4[/inlmath], što bi dalo [inlmath]{n\choose k}={4\choose3}=4[/inlmath].
  • Ako bi uzeo [inlmath]l=2[/inlmath], onda bi imao [inlmath]k=3l=6[/inlmath] i [inlmath]n=5l-1=9[/inlmath], što bi dalo [inlmath]{n\choose k}={9\choose6}=84[/inlmath].
  • Ako bi uzeo [inlmath]l=3[/inlmath], onda bi imao [inlmath]k=3l=9[/inlmath] i [inlmath]n=5l-1=14[/inlmath], što bi dalo [inlmath]{n\choose k}={14\choose9}=2002[/inlmath].
I onda uočiš da si upravo za [inlmath]l=3[/inlmath] došao do zaklučka da je [inlmath]{n\choose k}=2002[/inlmath], što je i slučaj (jer je tako dato u postavci zadatka). Međutim, ovakvo traganje za rezultatom je "koračanje vrlo neutabanom stazom", te ga ne preporučujem.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 136
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 161 puta

Re: Binomni koeficijenti, odrediti vrednosti n i k

Postod jovanpametnica » Nedelja, 02. Jun 2019, 10:27

hvala ti sto si se potrudio za ovo, meni je dosta znacilo
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Binomni koeficijenti, odrediti vrednosti n i k

Postod Boris » Subota, 11. April 2020, 00:45

[dispmath]\left(\frac{2}{x^2}+\sqrt x\right)^n[/dispmath] Zbir binomnih koeficijenata prva tri clana je [inlmath]29[/inlmath], odrediti [inlmath]n[/inlmath] i izracunati drugi clan u razvoju binoma.

Ovako, ja sam izracunao [inlmath]n[/inlmath] preko
[dispmath]{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}=29[/dispmath] i kvadratne jednacine i dobijem [inlmath]n=12[/inlmath]
A u zbirci pise da treba da bude [inlmath]n=7[/inlmath] a drugi član [inlmath]448x^{-23\over2}[/inlmath]
Znam da izracunam drugi član kada imam [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] ali ne razumem da li sam ja pogresio u postupku racunanja [inlmath]n[/inlmath] ili je pogresno napisano u zbirci.
Boris  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Binomni koeficijenti, odrediti vrednosti n i k

Postod Boris » Subota, 11. April 2020, 02:09

Skontao sam da nisam dobro [inlmath]n[/inlmath] izracunao tako sto sam samo [inlmath]n[/inlmath] ubacio u pocetno i video sam da nije [inlmath]12[/inlmath]. Kasnije sam ispravio gresku, sve je u redu.
Boris  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 2 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 22:12 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs