Jovan111 je napisao:[dispmath]\Longrightarrow\;\frac{k}{n-k+1}=\frac{3}{2}\tag1[/dispmath] Odavde možemo zaključiti da je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], to jest da se može napisati kao [inlmath]k=3l[/inlmath].
Pretpostavljam da si shvatio ovaj deo mog prethodnog posta. Sada ako uvrstiš u izraz označen sa [inlmath](1)[/inlmath] da je [inlmath]k=3l[/inlmath] imao bi:
[dispmath]\frac{3l}{n-3l+1}=\frac{3}{2}\iff6l=3n-9l+3\iff n=\frac{15l-3}{3}=5l-1[/dispmath] Nadam se da ti je sada jasnije kako smo odredili da je [inlmath]n=5l-1[/inlmath].
Jovan111 je napisao:Kako znamo da su nam polazne jednačine bile
[dispmath]{n\choose k-1}=3003\;\land\;{n\choose k}=2002[/dispmath] a [inlmath]2002[/inlmath] i [inlmath]3003[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]13[/inlmath], onda mora biti i [inlmath]n\ge13[/inlmath], to jest (pošto je [inlmath]n=5l-1[/inlmath]) [inlmath]l\ge3[/inlmath].
Ako ti ovo nije jasno, pogledajmo primer:
[dispmath]{{\color{red}14}\choose 7}=3432[/dispmath] Ovaj binomni koeficijent daje rezultat [inlmath]3432[/inlmath]. Broj [inlmath]3432[/inlmath] može se prikazati preko svojih prostih činilaca kao [inlmath]3432=2^3\cdot3\cdot11\cdot13[/inlmath]. Primetimo da je broj [inlmath]14[/inlmath], koji je analogan broju [inlmath]n[/inlmath] u binomnom koeficijentu [inlmath]n\choose k[/inlmath],
veći od svih prostih činilaca broja [inlmath]3432[/inlmath]! Tako je i [inlmath]n[/inlmath] u jednakostima:
[dispmath]{n\choose k-1}=3003\;\land\;{n\choose k}=2002[/dispmath] morao biti veći (ili jednak) od svih prostih činilaca brojeva [inlmath]3003=3\cdot7\cdot11\cdot13[/inlmath] i [inlmath]2002=2\cdot7\cdot11\cdot13[/inlmath]. Kako je najveći od pomenutih prostih činilaca [inlmath]13[/inlmath], zaključujemo da je [inlmath]n\ge13[/inlmath]. Tada je i više nego jasno da je [inlmath]l[/inlmath] u najmanju ruku jednako [inlmath]3[/inlmath], a može biti i veće od [inlmath]3[/inlmath].
Ako ti je teže da ovako nešto odmah zaključiš možeš proveriti ručno, za [inlmath]l=1[/inlmath], [inlmath]l=2[/inlmath], [inlmath]l=3[/inlmath], ...
- Ako bi uzeo [inlmath]l=1[/inlmath], onda bi imao [inlmath]k=3l=3[/inlmath] i [inlmath]n=5l-1=4[/inlmath], što bi dalo [inlmath]{n\choose k}={4\choose3}=4[/inlmath].
- Ako bi uzeo [inlmath]l=2[/inlmath], onda bi imao [inlmath]k=3l=6[/inlmath] i [inlmath]n=5l-1=9[/inlmath], što bi dalo [inlmath]{n\choose k}={9\choose6}=84[/inlmath].
- Ako bi uzeo [inlmath]l=3[/inlmath], onda bi imao [inlmath]k=3l=9[/inlmath] i [inlmath]n=5l-1=14[/inlmath], što bi dalo [inlmath]{n\choose k}={14\choose9}=2002[/inlmath].
I onda uočiš da si upravo za [inlmath]l=3[/inlmath] došao do zaklučka da je [inlmath]{n\choose k}=2002[/inlmath], što je i slučaj (jer je tako dato u postavci zadatka). Međutim, ovakvo traganje za rezultatom je "koračanje vrlo neutabanom stazom", te ga ne preporučujem.