Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Raspoređivanje n jednakih kuglica u m različitih kutija

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Raspoređivanje n jednakih kuglica u m različitih kutija

Postod Anastasija_ » Sreda, 13. Maj 2020, 13:51

Zbunjena sam oko rešenja jednog zadatka iz ETF-ove zbirke za prijemni. On glasi:
Na koliko načina možemo rasporediti [inlmath]n[/inlmath] jednakih kuglica u [inlmath]m[/inlmath] različitih kutija, tako da tačno dve kutije ostanu prazne?

Dakle, dve kutije koje ćemo ostaviti prazne možemo izabrati na [inlmath]m\choose2[/inlmath] načina.
Popunimo sve ostale kutije sa po jednom kuglicom, ostaje nam [inlmath]m-2[/inlmath] kuglica.
Ostaje samo da primenimo formulu za kombinacije sa ponavljanjem (kako su sve kuglice iste) da izračunamo na koliko načina možemo [inlmath]n-(m-2)[/inlmath] kuglica rasporediti u [inlmath]m-2[/inlmath] kutija.
Po rešenju, to je sledeće
[dispmath]n-m+2+m-2-1\choose m-2\enclose{circle}{-1}[/dispmath] Ako primenimo samo formulu, ovo [inlmath]-1[/inlmath] je "višak". Zašto smo ovde oduzeli [inlmath]-1[/inlmath]?
Hvala unapred na pomoći! :)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Raspoređivanje n jednakih kuglica u m različitih kutija

Postod Daniel » Sreda, 13. Maj 2020, 22:56

Anastasija_ je napisao:Popunimo sve ostale kutije sa po jednom kuglicom, ostaje nam [inlmath]m-2[/inlmath] kuglica.

Ostaje nam [inlmath]n-(m-2)[/inlmath] kuglica (kako si kasnije i napisala), jer smo po jednu stavili u svaku od [inlmath]m-2[/inlmath] kutija.

Anastasija_ je napisao:Po rešenju, to je sledeće
[dispmath]n-m+2+m-2-1\choose m-2\enclose{circle}{-1}[/dispmath]

...i još pomnoženo onim [inlmath]\displaystyle{m\choose2}[/inlmath] zbog odabira dve kutije koje smo ostavili prazne.

Anastasija_ je napisao:Ako primenimo samo formulu, ovo [inlmath]-1[/inlmath] je "višak". Zašto smo ovde oduzeli [inlmath]-1[/inlmath]?

Za jednostavniji slučaj, kada [inlmath]k[/inlmath] kuglica raspoređujemo u [inlmath]n[/inlmath] kutija, to možemo učiniti na [inlmath]\displaystyle{n+k-1\choose k}[/inlmath] načina. Pošto ovde imamo [inlmath]n-m+2[/inlmath] kuglica i [inlmath]m-2[/inlmath] kutije, binomni koeficijent će glasiti [inlmath]\displaystyle{n-m+2+m-2-1\choose n-m+2}[/inlmath]. Ali, zbog osobine binomnog koeficijenta [inlmath]\displaystyle{n\choose k}={n\choose n-k}[/inlmath], prethodni binomni koeficijent možemo napisati i kao [inlmath]\displaystyle{n-m+2+m-2-1\choose (n-m+2+m-2-1)-(n-m+2)}[/inlmath], a to je [inlmath]\displaystyle{n-m+2+m-2-1\choose m-2-1}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Raspoređivanje n jednakih kuglica u m različitih kutija

Postod Anastasija_ » Četvrtak, 14. Maj 2020, 14:49

Sada razumem, hvala puno!
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 48 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 08:10 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs