Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI KOMBINATORIKA

Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

[inlmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}[/inlmath]

Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod Kototamopeva » Subota, 20. Jun 2020, 15:59

Prijemni ispit FON – 25. jun 2019.
18. zadatak


Zdravo,
Zadatak glasi: U razvoju [inlmath]\left(\sqrt[3]3-\sqrt2\right)^{2019}[/inlmath] broj svih članova koji su prirodni brojevi jednak je:
[inlmath]A)\;336;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;673;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;168;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;337;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;169.[/inlmath]

Poznato mi je kako doći do broja celih članova, ali nikad se do sada nisam susreo sa zadatkom u kom se traži broj prirodnih članova. Kada se traži broj celih, ako nije dato [inlmath]n[/inlmath], prvo se to izračuna, u ovom slučaju je dato, pa nam ostaje samo da postavimo neke uslove u vezi [inlmath]k[/inlmath], sa čime je deljivo i iz toga izvući rešenje, medjutim, ne znam šta ovde da radim i koje uslove da postavim. Može pomoć?
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod primus » Subota, 20. Jun 2020, 17:04

[dispmath]\left(\sqrt[3]3-\sqrt2\right)^{2019}=\sum_{k=0}^{2019}{2019\choose k}\cdot3^\frac{k}{3}\cdot(-2)^\frac{2019-k}{2}[/dispmath] Na osnovu ovog izraza zaključujemo da moraju biti ispunjena sledeća dva uslova da bi član binomnog razvoja bio prirodan broj: [inlmath]3\mid k[/inlmath] i [inlmath]2\mid(2019-k)[/inlmath]. Kako [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath][0,2019][/inlmath] broj onih [inlmath]k[/inlmath] koji ispunjavaju prvi uslov je [inlmath]674[/inlmath]. Da bi bio zadovoljen i drugi uslov od ovog broja moramo oduzeti parne [inlmath]k[/inlmath]-ove pa je konačno rešenje [inlmath]337[/inlmath].
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod primus » Subota, 20. Jun 2020, 17:38

Jedna ispravka:
[dispmath]\left(\sqrt[3]3-\sqrt2\right)^{2019}=\sum_{k=0}^{2019}{2019\choose k}\cdot(-1)^{k+1}\cdot3^\frac{k}{3}\cdot2^\frac{2019-k}{2}[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod primus » Subota, 20. Jun 2020, 18:16

Ustvari ovako se izračunava broj svih članova koji su celi brojevi. Da bi dobili broj članova koji su prirodni brojevi od [inlmath]337[/inlmath] treba oduzeti broj članova koji su negativni celi brojevi. Zanimljivo, ponuđeno rešenje 18. zadatka je [inlmath]337[/inlmath]. Moguće je da postoji greška u postavci zadatka.
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod primus » Subota, 20. Jun 2020, 19:00

Posle kraćeg razmišljanja došao sam do zaključka da je tačno rešenje ipak [inlmath]337[/inlmath]. Prevideo sam da je [inlmath]k[/inlmath] neparno, pa je samim tim izraz [inlmath](-1)^{k+1}[/inlmath] uvek pozitivan. Izvinjavam se zbog zbrke koju sam napravio u ovoj temi. :wacko:
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod Daniel » Subota, 20. Jun 2020, 19:37

Moćda je u ovom slučaju očiglednije ako umesto razvoja [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}[/inlmath] upotrebimo razvoj [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath], a koji je i inače uobičajen. Tada imamo:
[dispmath]\left(\sqrt[3]3-\sqrt2\right)^{2019}=\sum_{k=0}^{2019}{2019\choose k}3^\frac{2019-k}{3}\left(-2^\frac{1}{2}\right)^k=\sum_{k=0}^{2019}{2019\choose k}(-1)^k3^\frac{2019-k}{3}2^\frac{k}{2}[/dispmath] Da bi činilac [inlmath]3^\frac{2019-k}{3}[/inlmath] bio ceo broj (a samim tim i prirodan), potrebno je da [inlmath]2019-k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], a kako je [inlmath]2019[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], ovo se svodi na uslov da je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath].
Da bi činilac [inlmath]2^\frac{k}{2}[/inlmath] bio ceo broj (a samim tim i prirodan), potrebno je da [inlmath]k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]2[/inlmath].
I, potrebno je da [inlmath](-1)^k[/inlmath] bude prirodan, tj. da bude pozitivan, a to znači da [inlmath]k[/inlmath] treba da bude deljivo sa [inlmath]2[/inlmath] a to je identično prethodno postavljenom uslovu. (Drugim rečima, u razvoju ovog binoma svi celi brojevi biće prirodni, tj. neće postojati negativni celi brojevi; svi negativni članovi biće iracionalni.)
Dakle, uslovi su samo da [inlmath]k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]2[/inlmath] i da bude deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] – to jest, da [inlmath]k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]6[/inlmath].
Ostalo je samo još odrediti koliko je celih brojeva od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2019[/inlmath] deljivo sa [inlmath]6[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod Kototamopeva » Subota, 20. Jun 2020, 19:39

Hvalaa :D
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod Ivana125 » Petak, 26. Jun 2020, 22:17

Zasto su u ovom zadatku svi celi brojevi prirodni? Kada se to desava?
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod Daniel » Subota, 27. Jun 2020, 14:45

Prirodni su oni celi brojevi koji nisu negativni i koji nisu nula.
To znači, ceo broj koji nije negativan i koji nije nula – biće prirodan.
Stepenovanjem prvog člana ovog binoma, [inlmath]\sqrt[3]3[/inlmath], ne može se nikad dobiti negativan broj, jer stepenovanjem pozitivnog broja uvek dobijamo isključivo pozitivan broj. Prema tome, ako [inlmath]\sqrt[3]3[/inlmath] stepenujemo tako da rezultat bude ceo broj, rezultat će istovremeno biti i prirodan broj jer mora biti pozitivan.
Što se tiče drugog člana, [inlmath]-\sqrt2[/inlmath], pošto je on negativan, stepenovanjem tog broja nećemo uvek dobiti pozitivan broj. Kada ga stepenujemo parnim brojem dobićemo pozitivan, a kada ga stepenujemo neparnim brojem dobićemo negativan rezultat. Međutim, pošto je u pitanju kvadratni koren, isto tako važi da, ako ga stepenujemo parnim brojem dobićemo ceo broj, a kada ga stepenujemo neparnim brojem dobićemo iracionalan broj. Pošto je nama cilj da dobijemo ceo broj, biraćemo samo one članove u razvoju u kojima je [inlmath]-\sqrt2[/inlmath] stepenovan parnim brojem, a pošto je u tim članovima razvoja stepenovan parnim brojem, biće istovremeno i pozitivan. A pošto je ceo broj i pozitivan broj, znači, biće prirodan broj.
Druga bi stvar bila da je član binoma bio, recimo, [inlmath]-2[/inlmath]. Tada bi svi stepeni tog broja bili celi, ali ne bi svi bili prirodni (jer bi neki od njih bili negativni). Neparni stepeni tog broja, a to su [inlmath]-2[/inlmath], [inlmath](-2)^3[/inlmath], [inlmath](-2)^5[/inlmath] itd. bili bi celi brojevi ali ne bi bili prirodni brojevi jer su negativni.
Nadam se da je sad jasno.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Broj prirodnih brojeva u razvoju binoma – prijemni FON 2019.

Postod Acim » Subota, 15. Maj 2021, 13:54

Pozdrav,
U čemu sam pogrešio u mom načinu razmišljanja kod ovog zadatka? Okej, primenom opštog člana dobijamo;
[dispmath]3^\frac{2019-k}{3}\cdot\left(-1\right)^k\cdot2^\frac{k}{2}[/dispmath] Prvi uslov je da vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] budu deljive sa [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], a drugi uslov je da [inlmath]k[/inlmath] bude parno, kako bi broj bio pozitivan, a samim tim i prirodan.
Krenuo sam onda da radim preko nizova ([inlmath]k=0[/inlmath] sam izbacio jer su prirodni brojevi svi brojevi veći od [inlmath]0[/inlmath])

Vidimo da je prva [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov [inlmath]6[/inlmath] pa [inlmath]12[/inlmath] i uočavamo da je [inlmath]d=6[/inlmath], a poslednja [inlmath]k[/inlmath] vrednost koja ispunjava uslov je [inlmath]k=2016[/inlmath].

Potom sam krenuo od formule za opšti član - [inlmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)d[/inlmath], odakle dobijam;
[inlmath]2016=6+6n-6[/inlmath] i [inlmath]n=336[/inlmath], što nije tačan odgovor.
Gde bi mogla biti greška?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sledeća

Povratak na KOMBINATORIKA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 36 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:59 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs