@Griezzmiha, ja mislim da je ono što tebe buni to da je skup celih brojeva podskup skupa racionalnih brojeva.
To znači, svi celi brojevi jesu istovremeno i racionalni. Ali, obrnuto ne važi – nisu svi racionalni brojevi celi brojevi.
Skup racionalnih brojeva je skup svih brojeva oblika [inlmath]\frac{m}{n}[/inlmath], gde [inlmath]m,n\in\mathbb{Z}[/inlmath] i [inlmath]n\ne0[/inlmath].
Npr. [inlmath]5[/inlmath] jeste ceo broj, ali je i racionalan broj, jer se može napisati u obliku [inlmath]\frac{5}{1}[/inlmath]. Isto se može reći i za bilo koji ceo broj.
E sad, ako je u zadatku dat stepen binoma oblika [inlmath]\left(\sqrt[p]a\pm\sqrt[q]b\right)^n[/inlmath], gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] celi brojevi (što je uvek dosad bio slučaj u zadacima s prijemnog), tada sabirci u tom razvoju mogu biti ili celi (a samim tim i racionalni), ili iracionalni. Ne mogu postojati sabirci koji su racionalni a nisu celi. To bi se moglo desiti ako bismo u razvoju imali negativne eksponente, ali znamo da eksponenti u razvoju mogu biti samo pozitivni (ili nula).
Meni lično i jeste malo nelogično to što na prijemnim ispitima formulišu pitanje tako da se traži broj racionalnih članova, umesto da lepo napišu da se traži broj celih članova (to svoje zapažanje sam i izneo pre pet godina, u ovom postu). Jedino neko smisleno objašnjenje je da se na taj način kod kandidata zahteva poznavanje veze racionalnih i celih brojeva... valjda...
Što se tiče pitanja zašto je broj sabiraka u razvoju veći za jedan od stepena na koji dižemo binom – miletrans je objasnio, a dopunio bih i s dva primera.
Kada binom stepenujemo dvojkom, tada je
[dispmath](a+b)^2={2\choose0}a^2b^0+{2\choose1}a^1b^1+{2\choose2}a^0b^2=a^2+2ab+b^2[/dispmath] tj. imamo tri, a ne dva sabirka, zar ne?
Slično, kada stepenujemo trojkom,
[dispmath](a+b)^3={3\choose0}a^3b^0+{3\choose1}a^2b^1+{3\choose2}a^1b^2+{3\choose3}a^0b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/dispmath] tj. imamo četiri, a ne tri sabirka.
Da ona suma u formuli ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] (gde je [inlmath]n[/inlmath] broj na koji stepenujemo binom), tada bismo imali [inlmath]n[/inlmath] sabiraka u razvoju. Ali, pošto suma ne ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] već ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath], e tada nam ona nula stvara jedan sabirak više, te imamo [inlmath]n+1[/inlmath] sabiraka.