Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Zadatak iz časopisa Tangenta

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

  • +2

Zadatak iz časopisa Tangenta

Postod Igor » Petak, 01. Septembar 2017, 11:05

[inlmath]M1460[/inlmath]. Odrediti najmanji prirodan broj [inlmath]n[/inlmath], veći od [inlmath]1000[/inlmath], takav da tačno polovina brojeva od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] ima u svom dekadnom zapisu bar jednu cifru [inlmath]1[/inlmath].

Rešenje:
Prvo ćemo odrediti koliko ima brojeva manjih od [inlmath]1000[/inlmath] koji u svom dekadnom zapisu imaju bar jednu cifru [inlmath]1[/inlmath]:
Jednocifreni: samo broj [inlmath]1[/inlmath]; [inlmath]1[/inlmath] broj
Dvocifreni: [inlmath]18[/inlmath] brojeva
[inlmath]1[/inlmath] * (umesto * može biti svih [inlmath]10[/inlmath] cifara) [inlmath]10[/inlmath] brojeva
* [inlmath]1[/inlmath] (umesto * može biti [inlmath]8[/inlmath] cifara, bez [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]) [inlmath]8[/inlmath] brojeva
Trocifreni: [inlmath]252[/inlmath] broja
[inlmath]1[/inlmath] * ** (umesto * može biti svih [inlmath]10[/inlmath] cifara, i umesto ** takođe svih [inlmath]10[/inlmath] cifara) [inlmath]100[/inlmath] brojeva
* [inlmath]1[/inlmath] ** (umesto * može biti [inlmath]8[/inlmath] cifara – bez [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], a umesto ** svih [inlmath]10[/inlmath] cifara) [inlmath]80[/inlmath] brojeva
* ** [inlmath]1[/inlmath] (umesto * može biti [inlmath]8[/inlmath] cifara – bez [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], a umesto ** [inlmath]9[/inlmath] cifara – bez [inlmath]1[/inlmath], zbog ponavljanja) [inlmath]72[/inlmath] broja

Dakle, ukupno ima [inlmath]1+18+252=271[/inlmath] broj manji od [inlmath]1000[/inlmath] koji u svom dekadnom zapisu ima bar jednu cifru [inlmath]1[/inlmath].
Ako računamo i [inlmath]1000[/inlmath], takvih brojeva ima [inlmath]272[/inlmath], jer i broj [inlmath]1000[/inlmath] ispunjava uslov. Takođe, i svaki broj u intervalu od [inlmath]1000[/inlmath] do [inlmath]1999[/inlmath], svakako sadrži bar jednu cifru [inlmath]1[/inlmath].
Ako se traženi najmanji prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] nalazi na tom intervalu ([inlmath]1000-1999[/inlmath]) onda se on može odrediti na sledeći način: [inlmath]\frac{n}{2}=\frac{1000+k}{2}=272+k[/inlmath], gde je [inlmath]n=1000+k[/inlmath] traženi broj, a brojeva od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] koji imaju bar jednu [inlmath]1[/inlmath] u svom dekadnom zapisu ima [inlmath]272+k[/inlmath].

Rešavanjem navedene jednačine dobija se:
[inlmath]1000+k=544+2k\;\longrightarrow\;k=456\\
n=1000+456=1456[/inlmath]

Najmanji prirodan broj ([inlmath]n[/inlmath]) veći od [inlmath]1000[/inlmath], takav da tačno polovina brojeva od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath] ima u svom dekadnom zapisu bar jednu cifru [inlmath]1[/inlmath] je broj [inlmath]\Large1456[/inlmath].

Ovo je zadatak preuzet iz matematičkog časopisa Tangente (broj: [inlmath]87/3[/inlmath], godina:[inlmath]2016/17.[/inlmath]), a ja sam autor rešenja, koje sam hteo da podelim sa vama :). Nadam se da će nekom posetiocu biti korisno. Možda je način rešavanja bio malo komplikovan, ali je svakako efikasan :D .
The only way to learn mathematics is to do mathematics. - Paul Halmos
Korisnikov avatar
Igor   ONLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 42
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 41 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 19. Septembar 2017, 20:50 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs