Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Kvadratna jednačina

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Kvadratna jednačina

Postod geostorm » Nedelja, 03. Decembar 2017, 17:12

Naći sve racionalne brojeve [inlmath]q[/inlmath] za koje jednačina
[dispmath]qx^2+(q+1)x+q=1[/dispmath] ima celobrojna rešenja.
Diskriminanta je
[dispmath]-3q^2+6q+1[/dispmath] ali sad ne znam sta dalje.
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Kvadratna jednačina

Postod Subject » Nedelja, 03. Decembar 2017, 18:26

Ovako bih ja gledao na ovaj zadatak...

Jednacina je kvadratna za [inlmath]q\ne0[/inlmath].

Dakle:
[dispmath]x_{1,2}=\frac{-(q+1)\pm\sqrt{-3q^2+6q+1}}{2q}[/dispmath] Da bi resenja bila racionalna, za diskriminantu treba da vazi: [inlmath]-3q^2+6q+1=m^2[/inlmath] za neko [inlmath]m\in\mathbb{Z}[/inlmath], pa dalje dobijas:
[dispmath]3q(2-q)=(m-1)(m+1)[/dispmath] Posto [inlmath]q\ne0[/inlmath] ostaje [inlmath](2-q)=(m-1)(m+1)[/inlmath], pa za [inlmath]m=\pm1[/inlmath] dobija se [inlmath]q=2[/inlmath], kada to uvrstim u gornju jednacinu, dobijam "jedno resenje":
[dispmath]x_{1,2}=\frac{-(3)\pm\sqrt1}{4}[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{-1}{2}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x_2=-1}[/dispmath] sto je ceo broj.
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"The right man in the wrong place can make all the difference in the world." - G.Man
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 32
Lokacija: Nis
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 17 puta

Re: Kvadratna jednačina

Postod geostorm » Nedelja, 03. Decembar 2017, 18:41

Mislim da oba rešenja te jednačine treba da budu celi brojevi, kod tebe je samo jedno. I zašto [inlmath]q[/inlmath] mora da bude različito od nule. Ako je [inlmath]q=0[/inlmath] onda je
[dispmath]qx^2+(q+1)x+q=1[/dispmath][dispmath]x=1[/dispmath] sto je ceo broj.
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Kvadratna jednačina

Postod Daniel » Nedelja, 03. Decembar 2017, 23:21

Subject je napisao:[dispmath]3q(2-q)=(m-1)(m+1)[/dispmath] Posto [inlmath]q\ne0[/inlmath] ostaje [inlmath](2-q)=(m-1)(m+1)[/inlmath], pa za [inlmath]m=\pm1[/inlmath] dobija se [inlmath]q=2[/inlmath],

Prevideo si i rešenje [inlmath]q=1[/inlmath], koje se dobije za [inlmath]m=\pm2[/inlmath]. To rešenje si izgubio, jer nisi smeo tek tako da eliminišeš [inlmath]3q[/inlmath] na levoj strani. Da je desna strana jednačine jednaka nuli, tada bi na levoj strani mogao da izostaviš sve činioce različite od nule, ali ovako ipak i oni tu igraju neku ulogu.

Ovaj deo se može raditi i na drugi način – tako što se tu sada postavi nova kvadratna jednačina, po [inlmath]q[/inlmath]:
[dispmath]-3q^2+6q+1-m^2=0[/dispmath] čija rešenja [inlmath]q_1[/inlmath] i [inlmath]q_2[/inlmath] treba da budu racionalni brojevi, po uslovu zadatka. A da bi bili racionalni brojevi, potrebno je da i diskriminanta ove kvadratne jednačine bude kvadrat prirodnog broja (ili nula).

geostorm je napisao:Mislim da oba rešenja te jednačine treba da budu celi brojevi, kod tebe je samo jedno.

Slažem se s ovom primedbom, tekst zadatka kaže celobrojna rešenja a ne celobrojno rešenje. Dakle, oba rešenja moraju biti celobrojna, tako da slučaj [inlmath]q=2[/inlmath] otpada.

geostorm je napisao:I zašto [inlmath]q[/inlmath] mora da bude različito od nule. Ako je [inlmath]q=0[/inlmath] onda je
[dispmath]qx^2+(q+1)x+q=1[/dispmath][dispmath]x=1[/dispmath] sto je ceo broj.

Da, ali u slučaju linearne jednačine imamo samo jedno rešenje, a u tekstu zadatka, kako sam malopre naglasio, piše celobrojna rešenja, dakle, u množini. Ja bih to protumačio tako da se traži slučaj kad imamo dva rešenja (a ne jedno), i to oba celobrojna. Mada, priznajem da nisam baš 100% siguran u ovo svoje tumačenje, jer tekst zadatka baš i nije najpreciznije sročen i trebalo je to malo bolje da naglase.

Ja na kraju dobijem tri rešenja po [inlmath]q[/inlmath], to su [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], pri čemu [inlmath]q=0[/inlmath] otpada zbog već pomenutog uslova da mora biti više od jednog rešenja (tj. jednačina ne sme biti linearna), [inlmath]q=2[/inlmath] otpada jer tada (kako je geostorm primetio) jedno rešenje ne bi bilo celobrojno, i ostaje samo [inlmath]q=1[/inlmath], što je slučaj kad imamo oba celobrojna rešenja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6717
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta

Re: Kvadratna jednačina

Postod geostorm » Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 14:44

U redu, a sta je sa
[dispmath]q=-\frac{1}{7}[/dispmath] jednačina u ovom slučaju ima celobrojna rešenja. Kako doći do tog rešenja?
 
Postovi: 9
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Kvadratna jednačina

Postod Daniel » Ponedeljak, 04. Decembar 2017, 19:30

Izvinjavam se, moj previd. Greška je bila još u startu, ne treba za diskriminantu polazne jednačine pisati [inlmath]-3q^2+6q+1=m^2[/inlmath], jer diskriminanta tada sme biti i kvadrat racionalnog broja.
Pošto je [inlmath]q[/inlmath] racionalno, treba ga napisati kao [inlmath]q=\frac{k}{l}[/inlmath], [inlmath]k,l\in\mathbb{Z}[/inlmath], [inlmath]l\ne0[/inlmath], uvrstiti u polaznu jednačinu, pomnožiti obe strane sa [inlmath]l^2[/inlmath] itd. To bi bila neka početna ideja.

Uvek kad znaš konačno rešenje zadatka, treba i da ga napišeš (kao što i kaže tačka 11. Pravilnika).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6717
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Decembar 2017, 15:45 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs