Diofantove jednačine? • MATEMANIJA
Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Diofantove jednačine?

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Diofantove jednačine?

Postod jorga01 » Utorak, 03. April 2018, 15:42

Zdravo! :D

Prije svega bih se izvinuo ako sam promašio oblast.

Naime, za par sedmica idem na takmičenje prvih razreda SŠ iz matematike i prije par minuta sam čitao oblasti koje će biti na testu. Između ostalog tu su i diofantove jednačine. Pogooglao sam malo i u suštini shvatio da to predstavlja jednu jednačinu sa dvije nepoznate. Na primjer: [inlmath]127x-52y=-2[/inlmath].

E sad, vidio sam da ljudi posvećuju knjige, sajtove i sl. samo takvim jednačinama, ali ja bih ako neko može na što razumljiviji način objasniti način rješavanja takvih jednačina (postupno). Recimo jednačina:
[dispmath]3x+7y=1[/dispmath] Koliko sam ja to shvatio, najprije nađemo najveći zajednički djelilac za brojeve uz [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] (u ovom primjeru [inlmath]3,7[/inlmath]), dakle [inlmath]\text{D}(3,7)=1[/inlmath]. Onda sam vidio takođe da se izrazi jedna od te dvije nepoznate i ubacuje se nova vrijednost [inlmath]t[/inlmath], [inlmath]k[/inlmath] ili [inlmath]u[/inlmath]. Od tog mi ništa nije jasno.

Tako da bih vas najljepše molio za pomoć, evo konkretno možete objasniti na primjeru koji sam naveo.

Hvala unaprijed! :thumbup:
Korisnikov avatar
jorga01  OFFLINE
 
Postovi: 39
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Diofantove jednačine?

Postod Daniel » Četvrtak, 05. April 2018, 01:52

jorga01 je napisao:Prije svega bih se izvinuo ako sam promašio oblast.

Ovo je pre za „Teoriju brojeva“ nego za „Algebru“, premestio sam, nije to problem. Mnogo je gore ovo što sam označio crveno, a što predstavlja zaista grubu (ali nažalost, čestu) gramatičku grešku.

jorga01 je napisao:Pogooglao sam malo i u suštini shvatio da to predstavlja jednu jednačinu sa dvije nepoznate. Na primjer: [inlmath]127x-52y=-2[/inlmath].

Ovakvi tipovi Diofantovih jednačina nazivaju se linearne Diofantove jednačine.

jorga01 je napisao:Recimo jednačina:
[dispmath]3x+7y=1[/dispmath]

Da bi ovo uopšte bila Diofantova jednačina, potrebno je da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] budu celi brojevi, što si očigledno zaboravio da navedeš kao uslov. I ovo je poslednji put da ti tolerišem zadatke u kojima su izostavljeni ovako bitni podaci, budući da su zadaci koje si dosad kačio već izazivali pometnju upravo iz tog razloga (kao npr. ovde).
Tačka 11. forumskog Pravilnika :!:

jorga01 je napisao:Koliko sam ja to shvatio, najprije nađemo najveći zajednički djelilac za brojeve uz [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] (u ovom primjeru [inlmath]3,7[/inlmath]), dakle [inlmath]\text{D}(3,7)=1[/inlmath].

[inlmath]\text{NZD}[/inlmath] nam je bitan kako bismo proverili da li Diofantova jednačina uopšte ima rešenja. U opštem slučaju, Diofantova jednačina [inlmath]ax+by=c[/inlmath] ima rešenja ako i samo ako je [inlmath]c[/inlmath] deljivo sa [inlmath]\text{NZD}(a,b)[/inlmath]. Ovo je sasvim razumljivo, jer se jednačina može svesti na oblik [inlmath]mp+mq=c[/inlmath] (gde je [inlmath]m=\text{NZD}(a,b)[/inlmath]), tj. na [inlmath]m(p+q)=c[/inlmath], pa ako [inlmath]c[/inlmath] ne bi bilo deljivo sa [inlmath]m[/inlmath] imali bismo situaciju da je leva strana deljiva sa [inlmath]m[/inlmath] a desna nije deljiva sa [inlmath]m[/inlmath], pa bi bilo očigledno da takva jednačina ne može imati rešenja.

jorga01 je napisao:Onda sam vidio takođe da se izrazi jedna od te dvije nepoznate i ubacuje se nova vrijednost [inlmath]t[/inlmath], [inlmath]k[/inlmath] ili [inlmath]u[/inlmath]. Od tog mi ništa nije jasno.

U ovom tvom primeru [inlmath]3x+7y=1[/inlmath] lako utvrđuješ da, prema prethodnom kriterijumu, jednačina ima rešenja. Zatim izraziš jednu promenljivu preko druge, npr. [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]y[/inlmath], nakon čega treba da dobiješ [inlmath]\displaystyle x=\frac{1-7y}{3}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]x[/inlmath] celobrojno, tj. leva strana je celobrojna, treba da postaviš uslov da je i desna strana celobrojna., tj. da je [inlmath]1-7y[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]. Znači, napišeš [inlmath]1-7y=3k\;(k\in\mathbb{Z})[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]y[/inlmath] oblika [inlmath]y=3k+1\;(k\in\mathbb{Z})[/inlmath]. Vratiš to u izraz za [inlmath]x[/inlmath], dobiješ [inlmath]\displaystyle x=\frac{1-7(3k+1)}{3}[/inlmath], tj. [inlmath]x=-7k-2[/inlmath].
I, onda se rešenje može zapisati u obliku [inlmath](x,y)=(-7k-2,\;3k+1)[/inlmath], što znači da rešenja ima beskonačno mnogo, a neka od rešenja će biti:
za [inlmath]k=-2\quad\Longrightarrow\quad(x,y)=(12,-5)[/inlmath];
za [inlmath]k=-1\quad\Longrightarrow\quad(x,y)=(5,-2)[/inlmath];
za [inlmath]k=0\quad\Longrightarrow\quad(x,y)=(-2,1)[/inlmath];
za [inlmath]k=1\quad\Longrightarrow\quad(x,y)=(-9,4)[/inlmath];
za [inlmath]k=2\quad\Longrightarrow\quad(x,y)=(-16,7)[/inlmath];
[inlmath]\vdots[/inlmath]

Zamolio bih te da ubuduće, kad imaš rešenja koja ne razumeš, napišeš ovde ta rešenja od reči do reči i naznačiš delove koji ti nisu jasni, kako bismo te delove razjasnili, jer ćeš nam time znatno uštedeti vreme i trud, umesto da objašnjavamo i što treba i što ne treba...

U vezi s Diofantovim jednačinama, preporučujem i ovu i ovu temu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7234
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3755 puta
Pohvaljen: 3926 puta

Re: Diofantove jednačine?

Postod jorga01 » Četvrtak, 12. April 2018, 20:29

Porazgovarao sam sa nastavnicom u vezi toga toga, pa mi je i ona dodatno objasnila.
U svakom slučaju hvala puno!

A što se tiče samog načina izražavanja se izvinjavam, nadam se da se neće ponavljati.
Korisnikov avatar
jorga01  OFFLINE
 
Postovi: 39
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 16. Avgust 2018, 12:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs