Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dokazati: ako je broj oblika 111...11 prost, broj znamenaka mu je prost

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Dokazati: ako je broj oblika 111...11 prost, broj znamenaka mu je prost

Postod dr.trovacek » Petak, 21. Septembar 2018, 21:38

Neka je tvrdnja T : Ako je broj oblika 111...11 prost, onda mu je broj znamenaka prost broj.
1) Dokaži ovu tvrdnju
2) Iskaži obrnuti tvrdnju. Je li ona istinita?
3) Vrijedi [inlmath]111= 3 \cdot 37[/inlmath]. Je li to u suprotnosti sa tvrdnjom T? Objasni svoj zaključak.
4) Vrijedi [inlmath]1111=11 \cdot 101[/inlmath]. Je li to u suprotnosti sa tvrdnjom T?
5) Pokušaj naći barem dva prosta broja ovog oblika. Za to će biti nužna pomoć računala.

Problemi od 2) pa nadalje bi bili puno lakši kada bih znao dokazati tvrdnju, ovako obzirom da ne znam ni prvi, ne mogu dalje.

Pokušavao sam gledati iz različitih kuteva, rastavljati na raspis kao polinom i pokušati naći obrazac. Jednostavno ne znam kako ovo dokazati, zato nisam postavio nikakav postupak. :crazy:

Da li netko zna neki dokaz koji bi bio primjeren za srednju školu (ovo je iz knjige za 4. razred)? Poglavlje prije ovog obrađuje matematičku indukciju, no ukoliko se i može dokazati matematičkom indukcijom, ne znam kako bi se dokaz provodio njome. :unsure:

U knjizi iz koje učim nemam primjere niti druge zadatke iz kojih bi vidio kako dokazati kako općenito dokazati da li je neki broj prost. Jedino se kao dodatak (dakle u sekciji dodatnog gradiva za one koji žele znati više) spominju Mersennovi brojevi, no (osim što ne vidim kako bi to ovdje pomoglo) obično se zadaci koji su dani za rješavanje (kao ovaj) rješavaju koristeći gradivo u sklopu regularnog gradiva.

Zahvalan za svaku pomoć. :aureola:
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dokazati: ako je broj oblika 111...11 prost, broj znamenaka mu je prost

Postod Corba248 » Subota, 22. Septembar 2018, 01:51

Broj [inlmath]111\ldots 11[/inlmath] je zapravo suma geometrijskog niza [inlmath]1,10,100,\ldots,10^{n-1}[/inlmath], pa možemo pisati:[dispmath]111\ldots 11=\frac{10^n-1}{9}[/dispmath]
Ukoliko broj [inlmath]111\ldots 11[/inlmath] označimo sa [inlmath]p[/inlmath] imamo [inlmath]9p=10^n-1[/inlmath]. Ako bi [inlmath]n[/inlmath] bio složen broj i [inlmath]p[/inlmath] prost mogli bismo da ga napišemo kao [inlmath]n=k\cdot m[/inlmath] ([inlmath]k,m>1, n,m,k\in\mathbb{N}[/inlmath]) pa bismo imali: [dispmath]\left (10^k\right )^m-1=(10^k-1)(10^{k\left (m-1\right )}+10^{k\left (m-2\right )}+\cdots +10^k+1)=9(10^{k-1}+10^{k-2}+\cdots +10+1)(10^{k\left (m-1\right )}+10^{k\left (m-2\right )}+\cdots +10^k+1)=9p\Longrightarrow p=(10^{k-1}+10^{k-2}+\cdots +10+1)(10^{k\left (m-1\right )}+10^{k\left (m-2\right )}+\cdots +10^k+1)[/dispmath] tj. dolazimo do kontradikcije jer smo dobili [inlmath]p[/inlmath] rastavljeno na činioce što je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom da je [inlmath]p[/inlmath] prost broj.
Za deo pod [inlmath]2[/inlmath] ti nije potrebno da uradiš prvi deo, a pokazuje se da obrnuta tvdnja nije istinita kontraprimerom (naravno, kontrapozicija ove implikacije je tačna (kako ona glasi? ), ali to nije isto što i obrnuto).
Ovo ostalo verujem da možeš sam.
Moderator
 
Postovi: 281
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 309 puta

Re: Dokazati: ako je broj oblika 111...11 prost, broj znamenaka mu je prost

Postod dr.trovacek » Subota, 22. Septembar 2018, 07:22

Puno hvala na brzom odgovoru! Baš me kopkao ovaj dokaz, nema šanse da bih ga uspio napraviti sam. :D

Nismo još radili geometrijski niz (to dolazi uskoro), ali sam upoznat s nekim osnovama što sam gledao samostalno,bitno je da mislim da shvaćam suštinu dokaza.

Da li ovaj rastav koji se koristi za ([inlmath]10^k)^m - 1[/inlmath] ima neki konkretan naziv? Htio bih ga malo podrobnije proučiti, odnosno potražiti online da izvježbam još neke primjere gdje se primjenjuje. Vidim kako funkcionira dok se sve izmnoži, ali mi je teško to primijeniti u konkretnoj situaciji. :wtf:

Nisam siguran da li sam shvatio ovo oko obratne tvrdnje i kontrapozicije. :think1: U knjizi piše točno ovako: "Iskaži obratnu tvrdnju". Obratna tvrdnja bi bila ako je broj znamenaka broja oblika 111...11 prost broj, onda je i taj broj prost?

Da ovo ostalo od 3.) pa nadalje je ok :thumbup:
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +1

Re: Dokazati: ako je broj oblika 111...11 prost, broj znamenaka mu je prost

Postod Corba248 » Subota, 22. Septembar 2018, 09:18

dr.trovacek je napisao:Da li ovaj rastav koji se koristi za ([inlmath]10^k)^m - 1[/inlmath] ima neki konkretan naziv? Htio bih ga malo podrobnije proučiti, odnosno potražiti online da izvježbam još neke primjere gdje se primjenjuje. Vidim kako funkcionira dok se sve izmnoži, ali mi je teško to primijeniti u konkretnoj situaciji. :wtf:

Mislim da nema konkretan naziv. To je zapravo rastav [inlmath]a^n-b^n[/inlmath] i možeš ga pronaći ovde.

dr.trovacek je napisao:Nisam siguran da li sam shvatio ovo oko obratne tvrdnje i kontrapozicije. :think1: U knjizi piše točno ovako: "Iskaži obratnu tvrdnju". Obratna tvrdnja bi bila ako je broj znamenaka broja oblika 111...11 prost broj, onda je i taj broj prost?

To je obrnatna tvdrnja (tj. obrnut smer implikacije) i ona nije tačna što ćeš najlakše pokazati nalazeći kontraprimer (dakle, neko prosto [inlmath]n[/inlmath] za koje je [inlmath]p[/inlmath] složeno).
Mi ovde imamo [inlmath]p\Rightarrow q[/inlmath], kontrapozicija implikacije je [inlmath]\lnot q\Rightarrow \lnot p[/inlmath]. Dakle, ona bi glasila ako broj cifara (znamenki) broja [inlmath]111\ldots 11[/inlmath] nije prost, onda ni on nije prost.
Moderator
 
Postovi: 281
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 309 puta

Re: Dokazati: ako je broj oblika 111...11 prost, broj znamenaka mu je prost

Postod dr.trovacek » Subota, 22. Septembar 2018, 13:35

Ok, mislim da shvaćam. Puno hvala!
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 15. Oktobar 2018, 13:42 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs