Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Deljivost brojeva

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Deljivost brojeva

Postod Jovan111 » Nedelja, 04. Novembar 2018, 12:12

Pozdrav. Naime, naišao sam na zadatak u kom se traži za prost broj [inlmath]p>3[/inlmath] da dokažem da važi [inlmath]24 | p^2 - 1[/inlmath]. I u principu, znam da ga rešim- svedem ga na [inlmath]24 | (p-1)(p+1)[/inlmath], i odatle se vidi da je proizvod deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath].

Pitanje: Meni se onda kao jedini način da se ovo reši nameće da ako je proizvod [inlmath](p-1)(p+1)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath], onda mora biti deljiv sa proizvodom tih brojeva [inlmath]2\cdot3\cdot4=24[/inlmath]. I to bi rešilo zadatak, ali se ja zapitam zašto bi to bilo tako- na primer, broj [inlmath]12[/inlmath] deljiv je sa [inlmath]2[/inlmath] i sa [inlmath]4[/inlmath], ali nije deljiv sa proizvodom tih brojeva, to jest sa [inlmath]2\cdot4=8[/inlmath]?


Hvala najlepše na odgovoru!
 
Postovi: 8
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Deljivost brojeva

Postod Daniel » Nedelja, 04. Novembar 2018, 15:09

Nije dovoljno da proizvod [inlmath](p-1)(p+1)[/inlmath] bude deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] (pre svega, ako je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], onda automatski mora biti deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath], zar ne)?
Potrebno je pokazati da je taj proizvod deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]8[/inlmath].
Pošto je [inlmath]p[/inlmath] prost broj veći od [inlmath]3[/inlmath] (a samim tim i neparan), to su [inlmath](p-1)[/inlmath] i [inlmath](p+1)[/inlmath] parni, tj. deljivi sa [inlmath]2[/inlmath], to je jasno. A pošto su to dva uzastopna parna broja, jasno je i da jedan od njih (i samo jedan) mora biti deljiv sa [inlmath]4[/inlmath]. Dakle, jedan je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], drugi je još deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], prema tome, proizvod je deljiv sa [inlmath]8[/inlmath].
Ako treba nešto striktniji dokaz, pretpostavi da jedan od ta dva činioca, npr. [inlmath](p-1)[/inlmath], nije deljiv sa [inlmath]4[/inlmath]. Tj. [inlmath](p-1)[/inlmath] je oblika [inlmath]4k+2[/inlmath] ([inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]). Tada je [inlmath]p[/inlmath] oblika [inlmath]4k+3[/inlmath], pa je drugi činilac, [inlmath](p+1)[/inlmath], oblika [inlmath]4k+4[/inlmath], tj. deljiv je sa [inlmath]4[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7321
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3806 puta
Pohvaljen: 3957 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 13. Novembar 2018, 01:30 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs