Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dati broj djeljiv sa 7

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Dati broj djeljiv sa 7

Postod Ojler79532 » Četvrtak, 28. Mart 2019, 00:58

Zadatak kaže: "Odredi sve prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath] takve da je broj [inlmath]2^n+n^2[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]7[/inlmath]."

U rješenju kažu da treba da se posmatraju ostaci pri djeljenju sa [inlmath]7[/inlmath], ali mi nije jasno. Nema takvih brojeva.
 
Postovi: 18
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 5 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dati broj djeljiv sa 7

Postod Daniel » Utorak, 02. April 2019, 18:13

Da, rešenje je da nema rešenja. Prvi sabirak, [inlmath]2^n[/inlmath], pri deljenju sa [inlmath]7[/inlmath] daje ostatke koji se ponavljaju s periodom [inlmath]3[/inlmath] i iznose [inlmath]2,4,1[/inlmath] (kako [inlmath]n[/inlmath] ide od [inlmath]3k-2[/inlmath] do [inlmath]3k[/inlmath], [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]).

Da je [inlmath]2^{3n}\equiv_71[/inlmath] lako se pokazuje indukcijom (koristeći osobinu multiplikativnosti [inlmath]a\equiv_m b\;\land\;c\equiv_md\;\Longrightarrow\;ac\equiv_m bd[/inlmath]), a zatim se može pokazati i da je periodičnost [inlmath]3[/inlmath] tako što se, koristeći istu osobinu, pokaže i [inlmath]2^{3n+1}\equiv_72[/inlmath] i [inlmath]2^{3n+2}\equiv_74[/inlmath].

Drugi sabirak, [inlmath]n^2[/inlmath], pri deljenju sa [inlmath]7[/inlmath] daje ostatke koji se ponavljaju s periodom [inlmath]7[/inlmath] (što se takođe lako dokazuje) i iznose [inlmath]1,4,2,2,4,1,0[/inlmath] (kako [inlmath]n[/inlmath] ide od [inlmath]7k-6[/inlmath] do [inlmath]7k[/inlmath], [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]).

Budući da nijedan od ostataka prvog sabirka ne može pri sabiranju s nekim od ostataka drugog sabirka dati zbir deljiv sa [inlmath]7[/inlmath], sledi da [inlmath]2^n+n^2[/inlmath] nije deljiv sa [inlmath]7[/inlmath] ni za koje prirodno [inlmath]n[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7487
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3901 puta
Pohvaljen: 4015 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 22. April 2019, 14:28 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs