Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Odredjivanje pretposlednje cifre broja

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Odredjivanje pretposlednje cifre broja

Postod kruznica14 » Sreda, 31. Jul 2019, 17:07

Lijep pozdrav. Istrazivajuci neke zadatke iz teorije brojeva sam naisla na ovaj zadatak u kojem se odredjuje pretposlednja cifra broja, pa molim za malo pomoci oko njega. Zadatak glasi: Posljednja cifra broja [inlmath]x^2+xy+y^2[/inlmath] je [inlmath]0[/inlmath]. Odredi pretposlednju cifru ovog broja. Ideja koju imam je da je ovaj broj oblika [inlmath]10k[/inlmath] jer mu je poslednja cifra [inlmath]0[/inlmath]. Da li transformacija izraza u [inlmath](x+y)^2-xy=10k[/inlmath] moze pomoci doci do rjesenja?
Hvala na pomoci
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odredjivanje pretposlednje cifre broja

Postod pentagram142857 » Četvrtak, 01. Avgust 2019, 16:38

Naravno, ne moze za svako [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] poslednja cifra da bude nula. Moze da bude na primer za [inlmath]x=10[/inlmath] i [inlmath]y=20[/inlmath], tada je [inlmath]x^2+xy+y^2=700[/inlmath]. U ovom primeru je poslednja cifra [inlmath]0[/inlmath], a pretposlednja je takodje [inlmath]0[/inlmath]. (s jedne strane je lose sto nisam dokazao za mnoge druge primere, ali s druge strane se iz teksta zadatka vidi da se trazi samo jedno resenje). Mozda ce neko sa matemanije umeti bolje da objasni.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 134
Zahvalio se: 43 puta
Pohvaljen: 119 puta

Re: Odredjivanje pretposlednje cifre broja

Postod Daniel » Petak, 02. Avgust 2019, 00:09

„Napipavanje“ koje je pokazao Pentagram je zaista najefikasnije ako zadatak treba rešiti brzo i ako već iz teksta zadatka imamo podatak da je pri postavljenim uslovima pretposlednja cifra tačno određena.

Ako se želi striktan postupak, onda prvo treba uočiti da izraz [inlmath]x^2+xy+y^2[/inlmath] mora biti paran da bi mu poslednja cifra bila nula, a lako se pokazuje da će biti paran onda i samo onda kada je i [inlmath]x[/inlmath] parno i [inlmath]y[/inlmath] parno. Zatim se uoči koje vrednosti može uzeti poslednja cifra kvadriranih parnih brojeva – može uzeti samo vrednosti [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] ili [inlmath]6[/inlmath], što već dosta sužava broj mogućnosti. To znači da i izraz [inlmath]x^2+y^2[/inlmath], kada su i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] parni, može kao poslednju cifru imati isključivo [inlmath]0[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] ili [inlmath]6[/inlmath]. Preostaje da se vidi za koje kombinacije parnih [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] će proizvod [inlmath]xy[/inlmath] u zbiru sa [inlmath]x^2+y^2[/inlmath] dati broj čija je poslednja cifra nula. Pokazuje se da će to biti slučaj jedino kada je poslednja cifra broja [inlmath]x[/inlmath] jednaka nuli i poslednja cifra broja [inlmath]y[/inlmath] jednaka nuli, a tada je [inlmath]x^2[/inlmath] deljivo sa [inlmath]100[/inlmath], [inlmath]xy[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]100[/inlmath] i [inlmath]y^2[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]100[/inlmath], prema tome, i njihov zbir [inlmath]x^2+xy+y^2[/inlmath] je tada deljiv sa [inlmath]100[/inlmath]. Pretposlednja cifra je nula.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Avgust 2019, 10:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs