Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Najveći zajednički delilac – probni prijemni MATF 2020.

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Najveći zajednički delilac – probni prijemni MATF 2020.

Postod miljan1403 » Petak, 19. Jun 2020, 14:58

Probni prijemni ispit MATF – 17. jun 2020.
7. zadatak


Najveći zajednički delilac brojeva [inlmath]2020![/inlmath] i [inlmath]2^{2020}[/inlmath] jeste:
Rešenja su:
[inlmath]\text{A)}\;2^{2020}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{B)}\;2^{2016}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{C)}\;2020!\cdot2^{2020}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{D)}\;2^{1010}\quad[/inlmath] [inlmath]\text{E)}\;2^{2013}[/inlmath]

Ovako ide moje razmišljanje. [inlmath]2020![/inlmath] je [inlmath]1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdots[/inlmath] Znači da tu ima [inlmath]1010[/inlmath] parnih brojeva (to jest brojeva koji su deljivi sa [inlmath]2[/inlmath]). Ono što možemo da vidimo jeste da ako uzmemo neki parni broj [inlmath]2k[/inlmath] i podelimo ga sa [inlmath]2[/inlmath] dobijamo od koliko se [inlmath]2[/inlmath] on sadrži ([inlmath]\frac{2}{2}=1,\frac{4}{2}=2,\ldots[/inlmath]) Odatle dobijamo aritmetički niz sa korakom [inlmath]1[/inlmath] koji ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]1010[/inlmath]. To je onda
[dispmath]S_{1010}=\frac{1010(1010+1)}{2}[/dispmath][dispmath]S_{1010}=510555[/dispmath] To je dosta veliki broj [inlmath]2[/inlmath], pošto je to mnogo više od [inlmath]2020[/inlmath], da li to onda znači da je rešenje [inlmath]2^{2020}[/inlmath]? :kojik:
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 6 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Najveći zajednički delilac – probni prijemni MATF 2020.

Postod miletrans » Petak, 19. Jun 2020, 15:36

Ne možeš tako da posmatraš. Ako tako gledaš, [inlmath]\frac{10}{2}=5[/inlmath], ali šta ti zapravo predstavlja ta petica? To ne znači da se broj [inlmath]2[/inlmath] javlja [inlmath]5[/inlmath] puta kao činilac broja [inlmath]10[/inlmath].

Potrebno je da rastavimo oba broja na proste činioce i onda da vidimo koji činioci i koliko puta se ponavljaju. Za [inlmath]2^{2020}[/inlmath] nema ništa sporno. Dakle, zadatak nam se svodi na to da izračunamo koliko puta će se broj dva javiti kao činilac u faktorizaciji broja [inlmath]2020![/inlmath].

Pogledaj ovu i ovu temu. Tu imaš objašnjeno kako se faktorizuju faktorijeli "velikih" brojeva. Pokušaj ovo da primeniš na ovaj zadatak, pa javi ako bude bilo problema.
Globalni moderator
 
Postovi: 401
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 467 puta

  • +1

Re: Najveći zajednički delilac – probni prijemni MATF 2020.

Postod miljan1403 » Petak, 19. Jun 2020, 16:01

miletrans je napisao:Ne možeš tako da posmatraš.

Totalno si u pravu, nisam proverio tačnost svoje "teorije". :D
Znači treba ovako da uradim:
[dispmath]2k=2020\;\Longrightarrow\;k=1010[/dispmath][dispmath]4k=2020\;\Longrightarrow\;k=505[/dispmath][dispmath]8k=2020\;\Longrightarrow\;k=252[/dispmath][dispmath]16k=2020\;\Longrightarrow\;k=126[/dispmath][dispmath]32k=2020\;\Longrightarrow\;k=63[/dispmath][dispmath]64k=2020\;\Longrightarrow\;k=31[/dispmath][dispmath]128k=2020\;\Longrightarrow\;k=15[/dispmath][dispmath]256k=2020\;\Longrightarrow\;k=7[/dispmath][dispmath]512k=2020\;\Longrightarrow\;k=3[/dispmath][dispmath]1024k=2020\;\Longrightarrow\;k=1[/dispmath] To je ukupno
[dispmath]2013[/dispmath] znači da je rešenje [inlmath]2^{2013}[/inlmath], zar ne? :D
 
Postovi: 115
Zahvalio se: 85 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Najveći zajednički delilac – probni prijemni MATF 2020.

Postod Daniel » Petak, 19. Jun 2020, 22:47

Tako je. :correct: A i dosta ubrzava postupak Ležandrova formula, koja je pokazana na gorelinkovanim temama (konkretno, ovaj i ovaj post):
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8308
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4422 puta
Pohvaljen: 4423 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 10. Jul 2020, 07:43 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs