Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Potpuni kvadrati prirodnih brojeva

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Potpuni kvadrati prirodnih brojeva

Postod ognjentesic » Četvrtak, 09. Jul 2020, 18:16

Pozdrav! Rešavao sam zadatak (čiji tekst i moje rešenje dajem u nastavku poruke). Moje pitanje se odnosi na to da li je moje rešenje tačno jer nemam rešenje i da li neko ima neku drugu ideju za rešavanje istog zadatka?

Tekst zadatka: Postoje li prirodni brojevi [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] takvi da su brojevi [inlmath]m^2+n[/inlmath] i [inlmath]m+n^2[/inlmath] potpuni kvadati prirodnih brojeva?

Moje rešenje: Dokažimo da mora važiti [inlmath]m^2+n=m+n^2[/inlmath]. Pretpostavimo suprotno. Ukoliko je [inlmath]m^2+n[/inlmath] potpun kvadrat, tada je razlika između kvadrata koji je za [inlmath]x[/inlmath] veći od [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]m^2[/inlmath] jednaka [inlmath]2mx+x^2=n[/inlmath]. Tada broj [inlmath]m+\left(2mx+x^2\right)^2[/inlmath] nije potpun kvadrat. Kontradikcija.
Dakle, [inlmath]m^2+n=m+n^2[/inlmath]. Elementarnim transformacijama izraza dobijamo [inlmath](m-n)(m+n)=m-n[/inlmath] iz čega sledi [inlmath]m+n=1[/inlmath] ili [inlmath]m+n=0[/inlmath] što nije moguće zbog uslova da su brojevi prirodni.
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Potpuni kvadrati prirodnih brojeva

Postod Daniel » Subota, 11. Jul 2020, 02:14

ognjentesic je napisao:Elementarnim transformacijama izraza dobijamo [inlmath](m-n)(m+n)=m-n[/inlmath] iz čega sledi [inlmath]m+n=1[/inlmath] ili [inlmath]m{\color{red}+}n=0[/inlmath] što nije moguće zbog uslova da su brojevi prirodni.

Trebalo bi da sledi [inlmath]m+n=1[/inlmath] ili [inlmath]m{\color{red}-}n=0[/inlmath] (moguće i da je samo greška u kucanju). U principu [inlmath]m-n=0[/inlmath] ne treba bez prethodne provere odbaciti kao nemoguće, jer u tekstu zadatka nije rečeno da [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] moraju biti međusobno različiti. Ipak, lako se pokazuje da je i taj slučaj nemoguć. Jer, ako bi bilo [inlmath]m=n[/inlmath], tada bi posmatrani brojevi [inlmath]m^2+n[/inlmath] i [inlmath]m+n^2[/inlmath] bili međusobno jednaki i iznosili bi [inlmath]m^2+m[/inlmath] (ili [inlmath]n^2+n[/inlmath], svejedno), a pošto je to proizvod dva uzastopna prirodna broja, samim tim ne može biti potpun kvadrat prirodnog broja. (Da proizvod dva uzastopna prirodna broja ne može biti potpun kvadrat prirodnog broja može se dokazati tako što se posmatra [inlmath]n\cdot n[/inlmath] kao kvadrat prirodnog broja [inlmath]n[/inlmath], i prvi sledeći potpun kvadrat prirodnog broja biće [inlmath](n+1)(n+1)[/inlmath], a pošto je [inlmath]n(n+1)[/inlmath] veći od [inlmath]n\cdot n[/inlmath] i manji od [inlmath](n+1)(n+1)[/inlmath], to znači da on ne može biti potpuni kvadrat prirodnog broja.)



Drugi način dokazivanja bio bi da pretpostavimo da i [inlmath]m^2+n[/inlmath] i [inlmath]m+n^2[/inlmath] jesu potpuni kvadrati, a pošto je najmanji potpuni kvadrat prirodnog broja koji je veći od [inlmath]m^2[/inlmath] jednak [inlmath](m+1)^2=m^2+2m+1[/inlmath], to znači da mora važiti [inlmath]n\ge2m+1[/inlmath]. Analogno, pošto je najmanji potpuni kvadrat prirodnog broja koji je veći od [inlmath]n^2[/inlmath] jednak [inlmath](n+1)^2=n^2+2n+1[/inlmath], to znači da mora važiti [inlmath]m\ge2n+1[/inlmath]. Uvrštavanjem druge nejednakosti u prvu dobija se
[dispmath]n\ge2m+1\ge2(2n+1)+1=4n+3\quad\Longrightarrow\quad3n+3\le0\quad\Longrightarrow\quad n\le-1[/dispmath] čime smo došli do kontradikcije jer [inlmath]n[/inlmath] mora biti prirodan broj.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8343
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4438 puta
Pohvaljen: 4438 puta

Re: Potpuni kvadrati prirodnih brojeva

Postod ognjentesic » Subota, 11. Jul 2020, 02:24

U redu. Hvala na odgovoru, sad mi je jasno.
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 05. Avgust 2020, 14:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs