Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Jednacina sa Ojlerovom funkcijom

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Jednacina sa Ojlerovom funkcijom

Postod mathproblem » Četvrtak, 19. Jun 2014, 16:16

treba da se resi
[dispmath]\varphi\left(5^x3^y\right)=3000[/dispmath]
i sad ja primenim formulu za ojlerovu funkciju i primenim to da je ona multiplikativna, i dobijem
[dispmath]5^{x-1}3^{y-1}=500[/dispmath]
zna li neko kako se dalje radi, i koliko su [inlmath]x,y[/inlmath]?
 
Postovi: 42
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Jednacina sa Ojlerovom funkcijom

Postod Milovan » Četvrtak, 19. Jun 2014, 19:15

Dakle, dato je da je [inlmath]\varphi\left(5^x3^y\right)=3000[/inlmath]

S obzirom na to da je Ojlerova funkcija multiplikativna, važi [inlmath]\varphi\left(5^x3^y\right)=\varphi\left(5^x\right)\cdot\varphi\left(3^y\right)[/inlmath]

Kako su brojevi [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] prosti, jasno je da važi [inlmath]\varphi\left(5^x\right)=(5-1)\cdot 5^{x-1}=4\cdot 5^{x-1}[/inlmath] i [inlmath]3^y=(3-1)\cdot 3^{y-1}=2\cdot 3^{y-1}[/inlmath]

Kada se ovo ubaci u polaznu jednačinu, dobije se:
[dispmath]5^{x-1}\cdot 3^{y-1}=\frac{3000}{8}=375[/dispmath]
S obzirom na to da je [inlmath]5^4=625[/inlmath], sledi da je [inlmath]x-1<4[/inlmath], tj. [inlmath]x<5[/inlmath]

Ostaje nam, dakle, da za [inlmath]x[/inlmath] ispitamo vrednosti [inlmath]1,2,3,4[/inlmath].
Za [inlmath]x=1[/inlmath] je [inlmath]3^{y-1}=375[/inlmath], što ne važi ni za jedan prirodan broj [inlmath]y[/inlmath].
Za [inlmath]x=2[/inlmath] je [inlmath]3^{y-1}=75[/inlmath], što ne važi ni za jedan prirodan broj [inlmath]y[/inlmath].
Za [inlmath]x=3[/inlmath] je [inlmath]3^{y-1}=15[/inlmath], što ne važi ni za jedan prirodan broj [inlmath]y[/inlmath].
Najzad, kada je [inlmath]x=4[/inlmath], dobije se da je [inlmath]3^{y-1}=3[/inlmath], tj. da je [inlmath]y=2[/inlmath].

Rešenje je, dakle, [inlmath]x=4[/inlmath], a [inlmath]y=2[/inlmath].
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta

Re: Jednacina sa Ojlerovom funkcijom

Postod mathproblem » Četvrtak, 19. Jun 2014, 19:34

Da,da, jasno mi je sad, pogresila sam u racunu, ne znam kojim cudom je meni [inlmath]3000[/inlmath] podeljeno sa [inlmath]8[/inlmath] , [inlmath]500[/inlmath] :D
Btw, hvala :)
 
Postovi: 42
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 19 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 05:57 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs