od željko » Ponedeljak, 05. Oktobar 2015, 07:37
Indukcija:
Pozdrav, bio bih zahvalan ako bi netko mogao reci sta je tacno poanta dokazivanja indukcijom u 6. zadatku, te zašto ova uputa u 7. nije zapravo rešenje? Šta još treba napisati?
6. Neka je [inlmath]m[/inlmath] najmanji element skupa [inlmath]A\subseteq\mathbb{N}[/inlmath]. Ako [inlmath]A[/inlmath] sadrži [inlmath]k+1[/inlmath] kada god sadrži prirodni broj [inlmath]k[/inlmath] onda je [inlmath]A=\{n\in\mathbb{N}:n>m\}[/inlmath].
7. Neka je [inlmath]a[/inlmath] realan broj. Za svaki par [inlmath]m[/inlmath], [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] vredi [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{n+m}[/inlmath].
Uputa:
Neka je [inlmath]M[/inlmath] skup svih prirodnih brojeva [inlmath]m[/inlmath], sa svojstvom da je [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{n+m}[/inlmath] za svaki prirodni broj [inlmath]n[/inlmath].
Budući da je [inlmath]a^{n+1}=a\cdot a^n[/inlmath] po definiciji to je [inlmath]1\in M[/inlmath].
Ako je [inlmath]m\in M[/inlmath], tj. [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n},\;\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] onda [inlmath]a^{m+1}\cdot a^n=\left(a\cdot a^m\right)\cdot a^n=a\cdot\left(a^m\cdot a^n\right)=a\cdot a^{m+n}[/inlmath] zbog [inlmath](m\in M)=a^{(m+n)+1}=a^{(m+1)+n}[/inlmath].
Hvala.