Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Matematička indukcija

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Matematička indukcija

Postod željko » Sreda, 24. Septembar 2014, 09:25

Pozdrav. Rješio sam ovaj zadatak ovako:
[dispmath]64\:\left|\:\left(3^{2n+2}-8n-9\right)\right.[/dispmath]
1. Baza indukcije: [inlmath]n=1[/inlmath]
[dispmath]3^{(2\cdot 1)+2}-8\cdot 1-9=3^4-8-9=81-8-9=64=64\cdot 1[/dispmath]
2. Pretpostavka: [inlmath]n=k[/inlmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
3^{2n+2}-8n-9=64k\\
3^{2n+2}=64k+9+8n\\
3^{2n}\cdot 3^2=64k+9+8n\\
\\
3^{2n}=\frac{64k+8n+9}{9}
\end{array}[/dispmath]
3. Korak: [inlmath]n=k+1[/inlmath]
[dispmath]3^{2(n+1)+2}-8(n+1)-9=3^{2n+2+2}-8n-8-9=\\
=3^{2n+4}-8n-8-9=3^{2n}\cdot 3^4-8n-17=81\cdot 3^{2n}-8n-17[/dispmath]
[dispmath]81\left(\frac{64k+8n+9}{9}\right)-8n-17=9(64k+8n+9)-8n-17=\\
=576k+72n+81-8n-17=576k+64n+64[/dispmath]
[dispmath]64(9k+n+1)[/dispmath]
Molim vas, da li je tačno? Hvala.
željko  OFFLINE
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 61 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Matematička indukcija

Postod Daniel » Sreda, 24. Septembar 2014, 10:24

:correct: Tačno, sasvim.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Matematička indukcija

Postod željko » Sreda, 22. Oktobar 2014, 07:29

Zadatak:
[dispmath]6\mid n^3+11n[/dispmath]
1.) [inlmath]n=1,\;1^3+11\cdot 1=12=6\cdot 2[/inlmath]

2.) [inlmath]n=k,\;6\mid k^3+11k[/inlmath]
Tada postoji prirodan broj [inlmath]l[/inlmath] takav da je [inlmath]k^3+11k=6l[/inlmath]

3.) [inlmath]n=k+1[/inlmath], pomoću induktivne pretpostavke dobivamo:
[dispmath](k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=[/dispmath]
i sada na kraju sam zapeo, može pomoć. Hvala.
željko  OFFLINE
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 61 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Matematička indukcija

Postod Milovan » Sreda, 22. Oktobar 2014, 08:15

Dobio si:
[dispmath](k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=\enclose{box}{k^3+11k}+\enclose{circle}{3k^2+3k}+12[/dispmath]
Prema pretpostavci iz drugog koraka, [inlmath]k^3+11k[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]. I [inlmath]12[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]. Ostaje da se pokaze da je sa [inlmath]6[/inlmath] deljivo i [inlmath]3k^2+3k=3k(k+1)[/inlmath]. To je prilicno jasno jer je tu proizvod trojke i dva uzastopna broja, od kojih jedan mora biti paran i otuda je i to deljivo sa [inlmath]6[/inlmath].

Mozes, naravno, umesto ove logike opet primeniti matematicku indukciju.
1) za [inlmath]k=1[/inlmath] dobije se [inlmath]6[/inlmath], sto je deljivo s [inlmath]6[/inlmath]
2) Pretpostavimo da vazi za [inlmath]k[/inlmath]
3) Dokazemo da vazi za [inlmath]k+1[/inlmath]:
[dispmath]3(k+1)^2+3(k+1)=3k^2+6k+3+3k+3=3k^2+3k+6(k+1)[/dispmath]
Prvi deo je deljiv po pretpostavci, a za ovaj drugi je sasvim jasno. Time je ovo dokazano.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta

Re: Matematička indukcija

Postod željko » Sreda, 22. Oktobar 2014, 13:20

Traži se dokaz da je deljivo sa [inlmath]6[/inlmath].
[dispmath]k^3+11k=6l,\;l\in\mathbb{N}[/dispmath]
Nastavit ću od koraka indukcije:[dispmath](k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=6l+3k^2+3k+12=6l+3k(k+1)+12[/dispmath]
Izraz [inlmath]k(k+1)[/inlmath] je umnožak 2 uzastopna broja, jedan od njih je paran, pa je [inlmath]k(k+1)[/inlmath] paran broj [inlmath]\Rightarrow k(k+1)=2n,\;\;n\in\mathbb{N}[/inlmath].
[dispmath]6l+3\cdot 2n+12=6(l+n+2)[/dispmath]
Mislim, uz vašu pomoć, da je sada to tačno. Hvala.
željko  OFFLINE
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 61 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Matematička indukcija

Postod Daniel » Sreda, 22. Oktobar 2014, 15:11

:correct: Sve OK.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Matematička indukcija

Postod željko » Ponedeljak, 05. Oktobar 2015, 07:37

Indukcija:

Pozdrav, bio bih zahvalan ako bi netko mogao reci sta je tacno poanta dokazivanja indukcijom u 6. zadatku, te zašto ova uputa u 7. nije zapravo rešenje? Šta još treba napisati?

6. Neka je [inlmath]m[/inlmath] najmanji element skupa [inlmath]A\subseteq\mathbb{N}[/inlmath]. Ako [inlmath]A[/inlmath] sadrži [inlmath]k+1[/inlmath] kada god sadrži prirodni broj [inlmath]k[/inlmath] onda je [inlmath]A=\{n\in\mathbb{N}:n>m\}[/inlmath].

7. Neka je [inlmath]a[/inlmath] realan broj. Za svaki par [inlmath]m[/inlmath], [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] vredi [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{n+m}[/inlmath].

Uputa:
Neka je [inlmath]M[/inlmath] skup svih prirodnih brojeva [inlmath]m[/inlmath], sa svojstvom da je [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{n+m}[/inlmath] za svaki prirodni broj [inlmath]n[/inlmath].
Budući da je [inlmath]a^{n+1}=a\cdot a^n[/inlmath] po definiciji to je [inlmath]1\in M[/inlmath].
Ako je [inlmath]m\in M[/inlmath], tj. [inlmath]a^m\cdot a^n=a^{m+n},\;\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] onda [inlmath]a^{m+1}\cdot a^n=\left(a\cdot a^m\right)\cdot a^n=a\cdot\left(a^m\cdot a^n\right)=a\cdot a^{m+n}[/inlmath] zbog [inlmath](m\in M)=a^{(m+n)+1}=a^{(m+1)+n}[/inlmath].

Hvala.
željko  OFFLINE
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 61 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Matematička indukcija

Postod desideri » Utorak, 06. Oktobar 2015, 12:08

@željko,
da li je u zadatku br. [inlmath]6[/inlmath] zapravo:
[dispmath]A=\{n\in\mathbb{N}:n\ge m\}[/dispmath]
Ovako kako si ti napisao mi deluje kontradiktorno.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Matematička indukcija

Postod željko » Utorak, 06. Oktobar 2015, 12:19

Jao, ja sam pogrešio, da, tako je kako ste napisali. Izvinjavam se. Hvala.
željko  OFFLINE
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 61 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Matematička indukcija

Postod željko » Utorak, 06. Oktobar 2015, 15:19

Sada je sve tačno prepisano, samo još odgovori!!! Hvala.
željko  OFFLINE
 
Postovi: 51
Zahvalio se: 61 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sledeća

Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Frank i 33 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:59 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs