Gamma je napisao:Moguce je da su bas isti zadaci. Daniele nisam znao za ovu temu. Mozda cak da sam ranije vidio ovo ne bih ni otvarao.
Ništa ne smeta što si otvorio još jednu temu, ovako smo saznali za tačan tekst tog zadatka, a videli smo i još jedan način rešavanja.
Gamma je napisao:Znas da se svaki broj moze predstaviti kao proizvod prostih brojeva – otuda i sve sa leve i sa desne strane moze se predstaviti kao proizvod prostih brojeva
Ovde me zbunjuju 2 stvari.
1 stvar to da se svaki broj moze zapisati kao proizovd prostih brojeva npr [inlmath]16[/inlmath]
[inlmath]16\cdot 1=16\\
8\cdot 2=16\\
4\cdot 4=16[/inlmath]
Kako god okrenem ne mogu ga dobiti kao proizvod dva prosta broja. Mogu ovako [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16[/inlmath]. Ali to mi u ovome zadatku nista ne znaci. Jer je ovde rjec o dva prosta broja.
Govorimo, dakle, o brojevima [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath]. Nigde nije rečeno da su oni prosti, rečeno je samo da su uzajamno prosti, a to nije isto. Uzajamno prosti su oni brojevi koji nemaju zajedničke činioce veće od [inlmath]1[/inlmath]. To znači, kad bi i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] napisao kao proizvod prostih činilaca (na isti način na koji si [inlmath]16[/inlmath] napisao kao [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 2[/inlmath]), tada nijedan činilac broja [inlmath]x[/inlmath] ne bi bio jednak nijednom činiocu broja [inlmath]7x-1[/inlmath]. (Ako treba dokaz da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] uzajamno prosti, napisaću.) E sad, pošto znamo da važi jednakost
[dispmath]1000x=\left(7x-1\right)y[/dispmath]
ako bismo [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] napisali u obliku njihovih prostih činilaca, [inlmath]x=a_1a_2\cdots a_m[/inlmath] i [inlmath]7x-1=b_1b_2\cdots b_n[/inlmath], pri čemu je [inlmath]a_i\ne b_j[/inlmath], tada prethodna jednačina postaje
[dispmath]1000a_1a_2\cdots a_m=b_1b_2\cdots b_ny[/dispmath]
pa zaključujemo da, pošto nijedan od prostih činilaca [inlmath]b_1b_2\cdots b_n[/inlmath] na desnoj strani ne može biti jednak nijednom od prostih činilaca [inlmath]a_1a_2\cdots a_m[/inlmath] na levoj strani, tada prosti činioci [inlmath]b_1b_2\cdots b_n[/inlmath] na desnoj strani moraju biti jednaki nekima od prostih činilaca broja [inlmath]1000[/inlmath]. Drugim rečima, broj [inlmath]b_1b_2\cdots b_n[/inlmath], a to je [inlmath]7x-1[/inlmath], mora se sadržati u broju [inlmath]1000[/inlmath], tj. [inlmath]1000[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]7x-1[/inlmath].
Gamma je napisao:2 stvar
To da lijeva i desna strana jednacine mogu se predstaviti kao proizovd prostih brojeva . Kako kada [inlmath]1000[/inlmath] nije prost broj i bilo koji broj pomnozen sa [inlmath]1000[/inlmath] mora biti slozen broj a ne prost.
Na ovo sam ti, zapravo, već i odgovorio u odgovoru na prethodno pitanje. Znači, [inlmath]1000[/inlmath] nije prost broj, niti bilo koji broj pomnožen sa [inlmath]1000[/inlmath], ali se [inlmath]1000[/inlmath] može predstaviti kao proizvod prostih brojeva, tj. proizvod njegovih prostih činilaca: [inlmath]1000=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5[/inlmath]. Tako da bi leva strana jednačine tada bila [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot a_1a_2\cdots a_m[/inlmath], tj. tako bi izgledala predstavljena kao proizvod prostih brojeva.
Gamma je napisao:Ja sam ovaj zadatak ovako nekako shvatio.
[dispmath]1000x=(7x-1)y[/dispmath][dispmath]y=\frac{1000x}{7x-1}[/dispmath]
E sada iz cinjenice da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] moraju biti cijeli trocifreni brojevi (jer jedino zadatak tada ima smisla). Kada znamo da [inlmath]y[/inlmath] da mora biti cio broj a [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] su uzajamno prosti (ne mogu se skratiti). Tada je uslov da [inlmath]y[/inlmath] bude cio broj da se [inlmath]1000[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] moraju pokratiti skroz.Da nema [inlmath]7x-1[/inlmath] u nazivniku nikako. A to je moguce samo kada je [inlmath]x=143[/inlmath] jer i on mora biti trocifren broj.
To je isti taj rezon, samo drugim rečima objašnjen. Dakle, to da „nema [inlmath]7x-1[/inlmath] u nazivniku nikako“, to znači da je [inlmath]1000[/inlmath] deljivo sa [inlmath]7x-1[/inlmath]. Da kojim slučajem [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] nisu uzajamno prosti, tada ne bismo imali neophodan uslov da [inlmath]1000[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]7x-1[/inlmath], već bi bilo dovoljno da [inlmath]1000[/inlmath] bude deljivo onim faktorom broja [inlmath]7x-1[/inlmath] koji bi preostao u imeniocu nakon skraćivanja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath]. Zato je i bilo bitno naglasiti da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] jesu uzajamno prosti, jer je tada neophodan uslov da [inlmath]1000[/inlmath] bude deljivo ne nekim faktorom broja [inlmath]7x-1[/inlmath], već upravo brojem [inlmath]7x-1[/inlmath].