Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dva trocifrena broja

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Re: Dva trocifrena broja

Postod Daniel » Utorak, 14. Oktobar 2014, 18:41

Gamma je napisao:Moguce je da su bas isti zadaci. Daniele nisam znao za ovu temu. Mozda cak da sam ranije vidio ovo ne bih ni otvarao.

Ništa ne smeta što si otvorio još jednu temu, ovako smo saznali za tačan tekst tog zadatka, a videli smo i još jedan način rešavanja. :)

Gamma je napisao:
Znas da se svaki broj moze predstaviti kao proizvod prostih brojeva – otuda i sve sa leve i sa desne strane moze se predstaviti kao proizvod prostih brojeva

Ovde me zbunjuju 2 stvari.
1 stvar to da se svaki broj moze zapisati kao proizovd prostih brojeva npr [inlmath]16[/inlmath]
[inlmath]16\cdot 1=16\\
8\cdot 2=16\\
4\cdot 4=16[/inlmath]
Kako god okrenem ne mogu ga dobiti kao proizvod dva prosta broja. Mogu ovako [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16[/inlmath]. Ali to mi u ovome zadatku nista ne znaci. Jer je ovde rjec o dva prosta broja.

Govorimo, dakle, o brojevima [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath]. Nigde nije rečeno da su oni prosti, rečeno je samo da su uzajamno prosti, a to nije isto. Uzajamno prosti su oni brojevi koji nemaju zajedničke činioce veće od [inlmath]1[/inlmath]. To znači, kad bi i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] napisao kao proizvod prostih činilaca (na isti način na koji si [inlmath]16[/inlmath] napisao kao [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 2[/inlmath]), tada nijedan činilac broja [inlmath]x[/inlmath] ne bi bio jednak nijednom činiocu broja [inlmath]7x-1[/inlmath]. (Ako treba dokaz da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] uzajamno prosti, napisaću.) E sad, pošto znamo da važi jednakost
[dispmath]1000x=\left(7x-1\right)y[/dispmath]
ako bismo [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] napisali u obliku njihovih prostih činilaca, [inlmath]x=a_1a_2\cdots a_m[/inlmath] i [inlmath]7x-1=b_1b_2\cdots b_n[/inlmath], pri čemu je [inlmath]a_i\ne b_j[/inlmath], tada prethodna jednačina postaje
[dispmath]1000a_1a_2\cdots a_m=b_1b_2\cdots b_ny[/dispmath]
pa zaključujemo da, pošto nijedan od prostih činilaca [inlmath]b_1b_2\cdots b_n[/inlmath] na desnoj strani ne može biti jednak nijednom od prostih činilaca [inlmath]a_1a_2\cdots a_m[/inlmath] na levoj strani, tada prosti činioci [inlmath]b_1b_2\cdots b_n[/inlmath] na desnoj strani moraju biti jednaki nekima od prostih činilaca broja [inlmath]1000[/inlmath]. Drugim rečima, broj [inlmath]b_1b_2\cdots b_n[/inlmath], a to je [inlmath]7x-1[/inlmath], mora se sadržati u broju [inlmath]1000[/inlmath], tj. [inlmath]1000[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]7x-1[/inlmath].

Gamma je napisao:2 stvar
To da lijeva i desna strana jednacine mogu se predstaviti kao proizovd prostih brojeva . Kako kada [inlmath]1000[/inlmath] nije prost broj i bilo koji broj pomnozen sa [inlmath]1000[/inlmath] mora biti slozen broj a ne prost.

Na ovo sam ti, zapravo, već i odgovorio u odgovoru na prethodno pitanje. Znači, [inlmath]1000[/inlmath] nije prost broj, niti bilo koji broj pomnožen sa [inlmath]1000[/inlmath], ali se [inlmath]1000[/inlmath] može predstaviti kao proizvod prostih brojeva, tj. proizvod njegovih prostih činilaca: [inlmath]1000=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5[/inlmath]. Tako da bi leva strana jednačine tada bila [inlmath]2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot a_1a_2\cdots a_m[/inlmath], tj. tako bi izgledala predstavljena kao proizvod prostih brojeva.

Gamma je napisao:Ja sam ovaj zadatak ovako nekako shvatio.
[dispmath]1000x=(7x-1)y[/dispmath][dispmath]y=\frac{1000x}{7x-1}[/dispmath]
E sada iz cinjenice da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] moraju biti cijeli trocifreni brojevi (jer jedino zadatak tada ima smisla). Kada znamo da [inlmath]y[/inlmath] da mora biti cio broj a [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] su uzajamno prosti (ne mogu se skratiti). Tada je uslov da [inlmath]y[/inlmath] bude cio broj da se [inlmath]1000[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] moraju pokratiti skroz.Da nema [inlmath]7x-1[/inlmath] u nazivniku nikako. A to je moguce samo kada je [inlmath]x=143[/inlmath] jer i on mora biti trocifren broj.

To je isti taj rezon, samo drugim rečima objašnjen. :) Dakle, to da „nema [inlmath]7x-1[/inlmath] u nazivniku nikako“, to znači da je [inlmath]1000[/inlmath] deljivo sa [inlmath]7x-1[/inlmath]. Da kojim slučajem [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] nisu uzajamno prosti, tada ne bismo imali neophodan uslov da [inlmath]1000[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]7x-1[/inlmath], već bi bilo dovoljno da [inlmath]1000[/inlmath] bude deljivo onim faktorom broja [inlmath]7x-1[/inlmath] koji bi preostao u imeniocu nakon skraćivanja [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath]. Zato je i bilo bitno naglasiti da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] jesu uzajamno prosti, jer je tada neophodan uslov da [inlmath]1000[/inlmath] bude deljivo ne nekim faktorom broja [inlmath]7x-1[/inlmath], već upravo brojem [inlmath]7x-1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dva trocifrena broja

Postod Gamma » Utorak, 14. Oktobar 2014, 19:02

Znam da za uzajamno prosta dva broja ne znaci da oni moraju biti prosti. To znaci da nemaju zajednickog djelioca . E aj ako ti nije problem daj neko objasnjenje (dokaz) da su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] uzajamno prosti. Jer ja to ne razumijem jedino sto mogu je da uvrstim neki broj i da to zakljucim a neki dokaz za sve brojeve da to vazi ne znam postaviti.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Dva trocifrena broja

Postod Daniel » Utorak, 14. Oktobar 2014, 19:21

Pretpostavimo suprotno, da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] nisu uzajamno prosti, tj. da postoji neki prirodan broj [inlmath]a[/inlmath] (različit od jedinice i ne obavezno prost) koji predstavlja zajednički činilac brojeva [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath], tj. [inlmath]x=ab[/inlmath] i [inlmath]7x-1=ac[/inlmath], gde su [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] celi brojevi.

Tada bi se broj [inlmath]7x-1[/inlmath] mogao napisati kao
[dispmath]7x-1=7ab-1=a\underbrace{\left(7b-\frac{1}{a}\right)}_c\quad\Rightarrow\quad c=7b-\frac{1}{a}[/dispmath]
Broj [inlmath]7b-\frac{1}{a}[/inlmath] predstavlja razliku celog broja i broja iz intervala [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], a ta razlika nije ceo broj. Ovime je pokazano da [inlmath]c[/inlmath] nije ceo broj, što je suprotno polaznoj pretpostavci. Time smo došli do kontradikcije i zaključujemo da je pretpostavka da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] nisu uzajamno prosti – pogrešna, to jest da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]7x-1[/inlmath] jesu uzajamno prosti.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dva trocifrena broja

Postod Gamma » Utorak, 14. Oktobar 2014, 21:29

Mogu ti reci da si mi sada to malo rastumacio...
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Prethodna

Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 37 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs