Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 4. razred
Uopšte ne razumijem smisao zadatka. Šta znači da se broj zapisuje u dekadnom sistemu sa [inlmath](p-1)[/inlmath]-om jedinicom? Mislim šta se podrazumjeva s tim? I ovo pod 2 mi nije jasno kakve veze ima ako je [inlmath]p>5[/inlmath] da [inlmath]10[/inlmath] nije sigurno djeljivo sa [inlmath]p[/inlmath]. Ova priča oko Male Fermaove teoreme mi je jasna nema šta.
Zadatak: Ako je prost broj [inlmath]p[/inlmath] veći od [inlmath]5[/inlmath], dokazati da je broj, koji se u dekadnom sistemu zapisuje sa [inlmath](p-1)[/inlmath]-om jedinicom, djeljiv sa [inlmath]p[/inlmath].
Rješenje:
1. [inlmath]111\ldots1=\frac{999\ldots9}{9}=\frac{100\ldots0-1}{9}=\frac{10^{p-1}-1}{9}[/inlmath]
2. Zbog [inlmath]p>5[/inlmath] [inlmath]10[/inlmath] sigurno nije djeljivo sa [inlmath]p[/inlmath].
3. Na osnovu Male Fermaove teoreme slijedi da je [inlmath]10^{p-1}-1[/inlmath] djeljivo sa [inlmath]p[/inlmath].