Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Subota, 04. April 2015, 17:47
od Ilija
Prirodni brojevi od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]100[/inlmath] zapisani su bez razdvajanja i tako je dobijen broj [inlmath]a=12345\ldots9899100[/inlmath]. Precrtati njegovih [inlmath]100[/inlmath] cifara tako da preostale cifre redom grade najveći mogući broj. Za zbir [inlmath]s[/inlmath] tako precrtanih cifara važi:

[inlmath]A)\hspace{5mm}100<s\le300\hspace{3em}[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{B)\hspace{5mm}300<s\le400}\hspace{3em}[/inlmath] [inlmath]C)\hspace{5mm}400<s\le500\hspace{3em}[/inlmath] [inlmath]D)\hspace{5mm}500<s\le600\hspace{3em}[/inlmath] [inlmath]E)\hspace{5mm}s>600[/inlmath]

Svaka pomoć je dobrodošla, pošto se ne snalazim najbolje sa ovim tipom zadataka.

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Subota, 04. April 2015, 18:43
od Sinisa
Zbir tih brojeva je [inlmath]345[/inlmath], pricekacemo jos malo sa postupkom jer je zadatak zanimljiv :)

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 01:35
od Daniel
Meni ispadne [inlmath]346[/inlmath]...

A da je zadatak zanimljiv, zanimljiv je... :mhm: 'El to s nekog takmičenja?

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 06:45
od Sinisa
U pravu si, dobije se [inlmath]346[/inlmath] :) a na kraju se dobije broj [inlmath]999997\ldots[/inlmath]

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 06:48
od Daniel
Tako je. :mhm:
Eto, već si dao neku smernicu, pa možda bude hteo još neko da pokuša. ;)

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 10:15
od Gamma
Vidim zadatak je stavljen u teoriju brojeva, mada meni ovo nekako naliči na kombinatoriku.Kombinatoriku smo tek skoro počeli raditi. Aj neka neko postavi rješenje ili neka kaže idejno kako ga je radio.Možda bi se i mogo uraditi pješke, ali bilo bi veoma naporno :ghh:

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 10:22
od Sinisa
Pogledaj moj prethodni post i shvatices sta nam je bila ideja dok smo radili :) Ovaj zadatak uopste ne nalici na kombinatoriku...

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 11:29
od Ilija
Ako je broj [inlmath]999997[/inlmath] onda treba ici na sto vise devetki. Jesam li u pravu? Ipak, i dalje ne znam na koji nacin to zapisati, a da ne bude previse dugacko.

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 11:48
od desideri
Zadatak je stvarno jako zanimljiv. Nego, ja ovo stvarno nisam razumeo, molim za pojašnjenje:
Sinisa je napisao:U pravu si, dobije se [inlmath]346[/inlmath] a na kraju se dobije broj [inlmath]999997\ldots[/inlmath]

Zar ne bi trebalo "forsirati" osmicu posle "potrošenih" devetki?

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 11:59
od Daniel
Trebalo bi, međutim, nema načina da se posle potrošenih devetki dobije osmica. Može se dobiti jedino sedmica.

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 12:02
od Sinisa
Do prve devetke treba precrtati osam cifara a do svake naredne po devetnaest cifara :)

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 12:07
od desideri
:thumbup:

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 12:26
od Daniel
Broj kojeg formiraju neprecrtane cifre mora biti najveći mogući – znači, cifre je potrebno precrtavati tako da što je moguće više prvih neprecrtanih cifara budu devetke. Kad više nije moguće da naredne neprecrtane cifre budu devetke, cifre precrtavamo tako da one neprecrtane budu osmice, zatim sedmice itd. Na taj način smo došli do toga da će prvih neprecrtanih šest cifara biti [inlmath]999997[/inlmath], kao što je Siniša i napisao. To znači da će precrtane cifre biti (radi bolje sistematizacije grupisaću cifre po redovima):
[dispmath]\begin{array}{l}
123\ldots78\\
101112\ldots17181\\
202122\ldots27282\\
303132\ldots37383\\
404142\ldots47484\\
505152\ldots555655
\end{array}[/dispmath]
Zbir cifara u prvom redu je [inlmath]1+2+\cdots+8[/inlmath].
Radi nalaženja sume cifara u preostalim redovima, u svakom redu ćemo posmatrati cifre na parnim i cifre na neparnim mestima.
Cifre na neparnim mestima u svakom od redova od drugog do petog formiraju isti niz kao i cifre u prvom redu: [inlmath]1,2,3,\ldots,7,8[/inlmath]
Na parnim mestima u drugom redu nalazi se deset jedinica, na parnim mestima u trećem redu deset dvojaka, na parnim mestima u četvrtom redu deset trojaka i na parnim mestima u petom redu deset četvoraka.
Šesti red ćemo razmotriti kasnije.

Znači, suma cifara prvog reda, kao i cifara na parnim mestima od drugog do petog reda iznosi:
[dispmath]5\cdot\left(1+2+\cdots+8\right)[/dispmath]
Izraz u zagradi predstavlja sumu aritmetičkog niza od [inlmath]8[/inlmath] članova, čiji je prvi član [inlmath]1[/inlmath] a poslednji [inlmath]8[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{8}{2}\left(1+8\right)=36[/inlmath]. Prema tome, ukupna suma cifara prvog reda i cifara na parnim mestima od drugog to petog reda iznosi [inlmath]5\cdot36=180[/inlmath].

Suma cifara na neparnim mestima od drugog do petog reda iznosi:
[dispmath]\underbrace{1+1+\cdots+1}_{10}+\underbrace{2+2+\cdots+2}_{10}+\underbrace{3+3+\cdots+3}_{10}+\underbrace{4+4+\cdots+4}_{10}=10\cdot\left(1+2+3+4\right)=100[/dispmath]

Preostao je još šesti red. On na neparnim mestima ima osam petica ([inlmath]8\cdot5=40[/inlmath]), dok na parnim ima niz [inlmath]1,2,\ldots,6[/inlmath] i jednu peticu na kraju, znači, [inlmath]\frac{6}{2}\left(1+6\right)+5=26[/inlmath]. Ukupna suma cifara šetog reda je [inlmath]40+26=66[/inlmath].

Dakle, ukupna suma prectranih cifara iznosi: [inlmath]180+100+66=346[/inlmath].