Stranica 2 od 2

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 12:02
od Sinisa
Do prve devetke treba precrtati osam cifara a do svake naredne po devetnaest cifara :)

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 12:07
od desideri
:thumbup:

Re: Zbir precrtanih cifara broja

PostPoslato: Nedelja, 05. April 2015, 12:26
od Daniel
Broj kojeg formiraju neprecrtane cifre mora biti najveći mogući – znači, cifre je potrebno precrtavati tako da što je moguće više prvih neprecrtanih cifara budu devetke. Kad više nije moguće da naredne neprecrtane cifre budu devetke, cifre precrtavamo tako da one neprecrtane budu osmice, zatim sedmice itd. Na taj način smo došli do toga da će prvih neprecrtanih šest cifara biti [inlmath]999997[/inlmath], kao što je Siniša i napisao. To znači da će precrtane cifre biti (radi bolje sistematizacije grupisaću cifre po redovima):
[dispmath]\begin{array}{l}
123\ldots78\\
101112\ldots17181\\
202122\ldots27282\\
303132\ldots37383\\
404142\ldots47484\\
505152\ldots555655
\end{array}[/dispmath]
Zbir cifara u prvom redu je [inlmath]1+2+\cdots+8[/inlmath].
Radi nalaženja sume cifara u preostalim redovima, u svakom redu ćemo posmatrati cifre na parnim i cifre na neparnim mestima.
Cifre na neparnim mestima u svakom od redova od drugog do petog formiraju isti niz kao i cifre u prvom redu: [inlmath]1,2,3,\ldots,7,8[/inlmath]
Na parnim mestima u drugom redu nalazi se deset jedinica, na parnim mestima u trećem redu deset dvojaka, na parnim mestima u četvrtom redu deset trojaka i na parnim mestima u petom redu deset četvoraka.
Šesti red ćemo razmotriti kasnije.

Znači, suma cifara prvog reda, kao i cifara na parnim mestima od drugog do petog reda iznosi:
[dispmath]5\cdot\left(1+2+\cdots+8\right)[/dispmath]
Izraz u zagradi predstavlja sumu aritmetičkog niza od [inlmath]8[/inlmath] članova, čiji je prvi član [inlmath]1[/inlmath] a poslednji [inlmath]8[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{8}{2}\left(1+8\right)=36[/inlmath]. Prema tome, ukupna suma cifara prvog reda i cifara na parnim mestima od drugog to petog reda iznosi [inlmath]5\cdot36=180[/inlmath].

Suma cifara na neparnim mestima od drugog do petog reda iznosi:
[dispmath]\underbrace{1+1+\cdots+1}_{10}+\underbrace{2+2+\cdots+2}_{10}+\underbrace{3+3+\cdots+3}_{10}+\underbrace{4+4+\cdots+4}_{10}=10\cdot\left(1+2+3+4\right)=100[/dispmath]

Preostao je još šesti red. On na neparnim mestima ima osam petica ([inlmath]8\cdot5=40[/inlmath]), dok na parnim ima niz [inlmath]1,2,\ldots,6[/inlmath] i jednu peticu na kraju, znači, [inlmath]\frac{6}{2}\left(1+6\right)+5=26[/inlmath]. Ukupna suma cifara šetog reda je [inlmath]40+26=66[/inlmath].

Dakle, ukupna suma prectranih cifara iznosi: [inlmath]180+100+66=346[/inlmath].