Kad smo se već dotakli
savršenih brojeva dodao bih ovde njihovu vezu sa Mersenovim prostim brojevima (prosti brojevi oblika [inlmath]2^n-1[/inlmath]). Poznato je da ako je [inlmath]2^n-1[/inlmath] prost broj onda je i [inlmath]n[/inlmath] prost broj. Svakom
savršenom broju odgovara jedan Mersenov prost broj. Mersenovi prosti brojevi su:
[dispmath]2^2-1=3\\
2^3-1=7\\
2^5-1=31\\
2^7-1=127[/dispmath] I tako dalje, vrednosti [inlmath]n[/inlmath] se nastavljaju poprilično nasumično [inlmath]n\in\{2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,\ldots\}[/inlmath]. Listu svih zasada poznatih Mersenovih prostih brojeva možete pronaći
ovde. Ako pogledamo navedene
savršene brojeve videćemo obrazac:
[dispmath]6=3\cdot2\\
28=7\cdot2^2\\
496=31\cdot2^4\\
8128=127\cdot2^6[/dispmath] Vidi se da je svaki
savršeni broj proizvod Mersenovog prostog broja i nekog stepena broja [inlmath]2[/inlmath], i to ne bilo kog stepena već stepena za [inlmath]1[/inlmath] manji nego što je dvojka kod njemu odgovarajućeg Mersenovog prostog broja, te je veza između
savršenih i Mersenovih prostih brojeva sledeća (neka je [inlmath]s[/inlmath] oznaka za
savršen broj):
[dispmath]\left(2^n-1\right)\cdot2^{n-1}=s[/dispmath] Postoji i konkretan dokaz ovoga, lako se može pronaći na netu.
P. S. Možda moj post nije dovoljno povezan sa naslovom teme, ali kad sam video da se pominju
savršeni brojevi nisam mogao da odolim, a da ne pomenem ovu, po mom mišljenju, neverovatnu vezu.