Sad posto je raspust malo raduckam matematiku iz knjige Jovana Keckica matematika sa zbirkom zadataka za 4 razred. Posle poglavlja o kombinatorici i binomnoj formuli nalazi se grupa zadataka pod imenom razni zadaci . I dva su interesantna zadatka koja mi pak ne deluju komplikovano, ali opet ne znam odakle da krenem.

1. Zadatak:
Dokazati da se svaki prirodni broj [inlmath]a[/inlmath] moze na jedinstven nacin prikazati u obliku
[dispmath]a=a_1\cdot1!+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!+\cdots+a_n\cdot n!,[/dispmath]
gde su [inlmath]a_i[/inlmath] celi brojevi i vazi [inlmath]0\leq a_i\leq i\;(i=1,2,3,\ldots,n)[/inlmath]

2. Zadatak:
Dokazati da se svaki racionalni broj [inlmath]\frac{p}{q}[/inlmath] moze na jedinstven nacin prikazati u obliku
[dispmath]\frac{p}{q}=\frac{a_1}{1!}+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\cdots+\frac{a_n}{n!},[/dispmath]
gde su [inlmath]a_i[/inlmath] celi brojevi za koje je [inlmath]a_1\geq0,\;0\leq a_i\leq i\;(i=1,2,3,\ldots,n).[/inlmath]
Prikazati brojeve [inlmath]1000,\;\frac{1}{1000},\;\frac{29}{643}[/inlmath]
Moja pretpostvka je posto je [inlmath]\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}[/inlmath] da ova druga formula vazi i za prirodne brojeve.
Ovde sam stavio dva zadatka odjednom zato sto mi deluju jako slicno pa mislim da ih ne treba odvajati.

Za prvi zadatak "ide" dokaz indukcijom, mada mi se čini da je autor mislio na neko prostije "pakovanje".
Za drugi zadatak je zapravo na osnovu ovoga:

Trougao je napisao:[inlmath]a_1\geq0,\;0\leq a_i\leq i\;(i=1,2,3,\ldots,n)[/inlmath]

jasno da nijedan [inlmath]a_i[/inlmath] ne može biti negativan. Dolaze u obzir samo prirodni brojevi uz nulu, tako da ne znam šta će mu ovo "celi".

desideri je napisao:tako da ne znam šta će mu ovo "celi".

To je i meni zasmetalo, ali, da je rekao „prirodni brojevi“, time bi eliminisao nulu. Mada, mogao je da kaže „prirodni brojevi, uključujući i nulu“, isto mu dođe. Al' dobro...

Mene više zbunjuje crveno obeležen uslov,

Trougao je napisao:[inlmath]{\color{red}a_1\geq0},\;{\color{blue}0\leq a_i\leq i\;(i=1,2,3,\ldots,n)}[/inlmath]

čini mi se suvišan, budući da on direktno sledi iz plavo obeleženog uslova.

To sa [inlmath]a_1\geq0[/inlmath] stvarno stoji tako, to i mene buni predpostavljam da je trebalo da stoji [inlmath]a_1\geq1[/inlmath] za slucaj [inlmath]p\geq q[/inlmath]. Ono nesta sto sam iskopao na internetu se nalazi u sledecim clancima:
https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial_number_system
https://oeis.org/wiki/Factorial_numeral_system
I sada znam da pretvaram brojeve iz decimalnog u faktorijelsKi brojni sistem al to nije dokaz :p

Iako je prošlo dosta vremena, ja bih pokušao da ispišem dokaz za 1. zadatak (nadam se tačan ).
Kako se svi neparni brojevi mogu napisati kao [inlmath]1!+a_0[/inlmath], gde je [inlmath]a_0[/inlmath] paran broj koji mu prethodi, zadatak možemo raditi samo za parne brojeve - dokazati da se svi parni brojevi mogu zapisati u obliku:
[dispmath]a_n=2!\cdot a_2+3!\cdot a_3+\cdots+n!\cdot a_n[/dispmath]
sa već navedenim uslovima. Neka je dat niz [inlmath]2!,\ 2\cdot2!,\ 3!,\ 3!+2!,\ 3!+2\cdot2!,\ 2\cdot3!,\ \ldots[/inlmath] Ovako definisan niz je očigledno strogo rastući. Neka su data dva broja: [inlmath]a_k=k![/inlmath] i [inlmath]a_{k+1}=(k+1)![/inlmath]. Broj parnih brojeva između [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath](k+1)![/inlmath] iznosi:
[dispmath]N=\frac{(k+1)!-k!}{2}=\frac{k!\cdot(k+1-1)}{2}=\frac{k!\cdot k}{2}[/dispmath]
Označimo sa [inlmath]M_m[/inlmath] broj članova iz datog niza takvih da su zapisani pomoću faktorijela broja [inlmath]m[/inlmath] ili faktorijela broja [inlmath]m[/inlmath] i faktorijela brojeva manjih od [inlmath]m[/inlmath]. Npr. za [inlmath]m=2[/inlmath]. to su brojevi [inlmath]2!,\ 2\cdot2![/inlmath], tj. [inlmath]M_2=2[/inlmath]. Očigledna je sledeća jednakost:
[dispmath]M_m=m\cdot(M_{m-1}+M_{m-2}+\cdots+M_2+1)[/dispmath]
Kako je:
[dispmath]M_2=2=\frac{2!\cdot2}{2},\qquad M_3=3\cdot(2+1)=\frac{3!\cdot3}{2}[/dispmath]
pretpostavimo da je:
[dispmath]M_{n-1}=\frac{(n-1)!\cdot(n-1)}{2}[/dispmath]
Tada je:
[dispmath]\begin{align}
M_n & =n\cdot(M_{n-1}+M_{n-2}+\cdots+M_2+1)\\\
\\
& =n\cdot\left(\frac{(n-1)!\cdot(n-1)}{2}+\frac{(n-2)!\cdot(n-2)}{2}+\cdots+\frac{(2)!\cdot2}{2}+1\right)\\\
\\
& =\frac{n}{2}\cdot\bigl((n-1)!\cdot(n-1)+(n-2)!\cdot(n-2)+\cdots+2!\cdot2+2\bigr)
\end{align}[/dispmath]
Zbog toga što je [inlmath](n-1)!\cdot(n-1)+(n-1)!=n![/inlmath], izraz u zagradi jednak je [inlmath]n![/inlmath]. Tada je:
[dispmath]M_n=\frac{n}{2}\cdot n![/dispmath]
što je trebalo i dokazati.
Broj članova između [inlmath]k![/inlmath] i [inlmath](k+1)![/inlmath] jednak je broju članova iz datog niza koji sadrže faktorijel [inlmath]k[/inlmath] ili faktorijel [inlmath]k[/inlmath] i faktorijele brojeva manjih od [inlmath]k[/inlmath]. Kako jedan broj iz niza odgovara jednom parnom broju (niz je rastući), i kako je broj jednih i drugih jednak, sledi da se svaki od brojeva može predstaviti jedinstveno u ovom obliku.
Možda sam malo više zakomplikovao, nadam se da ima smisla