Iako je prošlo dosta vremena, ja bih pokušao da ispišem dokaz za 1. zadatak (nadam se tačan

).
Kako se svi neparni brojevi mogu napisati kao [inlmath]1!+a_0[/inlmath], gde je [inlmath]a_0[/inlmath] paran broj koji mu prethodi, zadatak možemo raditi samo za parne brojeve - dokazati da se svi parni brojevi mogu zapisati u obliku:
[dispmath]a_n=2!\cdot a_2+3!\cdot a_3+\cdots+n!\cdot a_n[/dispmath]
sa već navedenim uslovima. Neka je dat niz [inlmath]2!,\ 2\cdot2!,\ 3!,\ 3!+2!,\ 3!+2\cdot2!,\ 2\cdot3!,\ \ldots[/inlmath] Ovako definisan niz je očigledno strogo rastući. Neka su data dva broja: [inlmath]a_k=k![/inlmath] i [inlmath]a_{k+1}=(k+1)![/inlmath]. Broj parnih brojeva između [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath](k+1)![/inlmath] iznosi:
[dispmath]N=\frac{(k+1)!-k!}{2}=\frac{k!\cdot(k+1-1)}{2}=\frac{k!\cdot k}{2}[/dispmath]
Označimo sa [inlmath]M_m[/inlmath] broj članova iz datog niza takvih da su zapisani pomoću faktorijela broja [inlmath]m[/inlmath] ili faktorijela broja [inlmath]m[/inlmath] i faktorijela brojeva manjih od [inlmath]m[/inlmath]. Npr. za [inlmath]m=2[/inlmath]. to su brojevi [inlmath]2!,\ 2\cdot2![/inlmath], tj. [inlmath]M_2=2[/inlmath]. Očigledna je sledeća jednakost:
[dispmath]M_m=m\cdot(M_{m-1}+M_{m-2}+\cdots+M_2+1)[/dispmath]
Kako je:
[dispmath]M_2=2=\frac{2!\cdot2}{2},\qquad M_3=3\cdot(2+1)=\frac{3!\cdot3}{2}[/dispmath]
pretpostavimo da je:
[dispmath]M_{n-1}=\frac{(n-1)!\cdot(n-1)}{2}[/dispmath]
Tada je:
[dispmath]\begin{align}
M_n & =n\cdot(M_{n-1}+M_{n-2}+\cdots+M_2+1)\\\
\\
& =n\cdot\left(\frac{(n-1)!\cdot(n-1)}{2}+\frac{(n-2)!\cdot(n-2)}{2}+\cdots+\frac{(2)!\cdot2}{2}+1\right)\\\
\\
& =\frac{n}{2}\cdot\bigl((n-1)!\cdot(n-1)+(n-2)!\cdot(n-2)+\cdots+2!\cdot2+2\bigr)
\end{align}[/dispmath]
Zbog toga što je [inlmath](n-1)!\cdot(n-1)+(n-1)!=n![/inlmath], izraz u zagradi jednak je [inlmath]n![/inlmath]. Tada je:
[dispmath]M_n=\frac{n}{2}\cdot n![/dispmath]
što je trebalo i dokazati.
Broj članova između [inlmath]k![/inlmath] i [inlmath](k+1)![/inlmath] jednak je broju članova iz datog niza koji sadrže faktorijel [inlmath]k[/inlmath] ili faktorijel [inlmath]k[/inlmath] i faktorijele brojeva manjih od [inlmath]k[/inlmath]. Kako jedan broj iz niza odgovara jednom parnom broju (niz je rastući), i kako je broj jednih i drugih jednak, sledi da se svaki od brojeva može predstaviti jedinstveno u ovom obliku.
Možda sam malo više zakomplikovao, nadam se da ima smisla
