Stranica 1 od 1

Predstavljanje prirodnih i racionalnih brojeva

PostPoslato: Sreda, 15. Jul 2015, 20:25
od Trougao
Sad posto je raspust malo raduckam matematiku iz knjige Jovana Keckica matematika sa zbirkom zadataka za 4 razred. Posle poglavlja o kombinatorici i binomnoj formuli nalazi se grupa zadataka pod imenom razni zadaci :sad3: . I dva su interesantna zadatka koja mi pak ne deluju komplikovano, ali opet ne znam odakle da krenem.

1. Zadatak:
Dokazati da se svaki prirodni broj [inlmath]a[/inlmath] moze na jedinstven nacin prikazati u obliku
[dispmath]a=a_1\cdot1!+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!+\cdots+a_n\cdot n!,[/dispmath]
gde su [inlmath]a_i[/inlmath] celi brojevi i vazi [inlmath]0\leq a_i\leq i\;(i=1,2,3,\ldots,n)[/inlmath]

2. Zadatak:
Dokazati da se svaki racionalni broj [inlmath]\frac{p}{q}[/inlmath] moze na jedinstven nacin prikazati u obliku
[dispmath]\frac{p}{q}=\frac{a_1}{1!}+\frac{a_2}{2!}+\frac{a_3}{3!}+\cdots+\frac{a_n}{n!},[/dispmath]
gde su [inlmath]a_i[/inlmath] celi brojevi za koje je [inlmath]a_1\geq0,\;0\leq a_i\leq i\;(i=1,2,3,\ldots,n).[/inlmath]
Prikazati brojeve [inlmath]1000,\;\frac{1}{1000},\;\frac{29}{643}[/inlmath]
Moja pretpostvka je posto je [inlmath]\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}[/inlmath] da ova druga formula vazi i za prirodne brojeve.
Ovde sam stavio dva zadatka odjednom zato sto mi deluju jako slicno pa mislim da ih ne treba odvajati.

Re: Predstavljanje prirodnih i racionalnih brojeva

PostPoslato: Četvrtak, 16. Jul 2015, 02:06
od desideri
Za prvi zadatak "ide" dokaz indukcijom, mada mi se čini da je autor mislio na neko prostije "pakovanje".
Za drugi zadatak je zapravo na osnovu ovoga:
Trougao je napisao:[inlmath]a_1\geq0,\;0\leq a_i\leq i\;(i=1,2,3,\ldots,n)[/inlmath]

jasno da nijedan [inlmath]a_i[/inlmath] ne može biti negativan. Dolaze u obzir samo prirodni brojevi uz nulu, tako da ne znam šta će mu ovo "celi".

Re: Predstavljanje prirodnih i racionalnih brojeva

PostPoslato: Četvrtak, 16. Jul 2015, 13:28
od Daniel
desideri je napisao:tako da ne znam šta će mu ovo "celi".

To je i meni zasmetalo, ali, da je rekao „prirodni brojevi“, time bi eliminisao nulu. Mada, mogao je da kaže „prirodni brojevi, uključujući i nulu“, isto mu dođe. Al' dobro... :)

Mene više zbunjuje crveno obeležen uslov,
Trougao je napisao:[inlmath]{\color{red}a_1\geq0},\;{\color{blue}0\leq a_i\leq i\;(i=1,2,3,\ldots,n)}[/inlmath]

čini mi se suvišan, budući da on direktno sledi iz plavo obeleženog uslova.

Re: Predstavljanje prirodnih i racionalnih brojeva

PostPoslato: Četvrtak, 16. Jul 2015, 15:04
od Trougao
To sa [inlmath]a_1\geq0[/inlmath] stvarno stoji tako, to i mene buni predpostavljam da je trebalo da stoji [inlmath]a_1\geq1[/inlmath] za slucaj [inlmath]p\geq q[/inlmath]. Ono nesta sto sam iskopao na internetu se nalazi u sledecim clancima:
https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial_number_system
https://oeis.org/wiki/Factorial_numeral_system
I sada znam da pretvaram brojeve iz decimalnog u faktorijelsKi brojni sistem al to nije dokaz :p

Re: Predstavljanje prirodnih i racionalnih brojeva

PostPoslato: Nedelja, 21. Februar 2016, 15:47
od Stefanowsky
Iako je prošlo dosta vremena, ja bih pokušao da ispišem dokaz za 1. zadatak (nadam se tačan :D ).
Kako se svi neparni brojevi mogu napisati kao [inlmath]1!+a_0[/inlmath], gde je [inlmath]a_0[/inlmath] paran broj koji mu prethodi, zadatak možemo raditi samo za parne brojeve - dokazati da se svi parni brojevi mogu zapisati u obliku:
[dispmath]a_n=2!\cdot a_2+3!\cdot a_3+\cdots+n!\cdot a_n[/dispmath]
sa već navedenim uslovima. Neka je dat niz [inlmath]2!,\ 2\cdot2!,\ 3!,\ 3!+2!,\ 3!+2\cdot2!,\ 2\cdot3!,\ \ldots[/inlmath] Ovako definisan niz je očigledno strogo rastući. Neka su data dva broja: [inlmath]a_k=k![/inlmath] i [inlmath]a_{k+1}=(k+1)![/inlmath]. Broj parnih brojeva između [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath](k+1)![/inlmath] iznosi:
[dispmath]N=\frac{(k+1)!-k!}{2}=\frac{k!\cdot(k+1-1)}{2}=\frac{k!\cdot k}{2}[/dispmath]
Označimo sa [inlmath]M_m[/inlmath] broj članova iz datog niza takvih da su zapisani pomoću faktorijela broja [inlmath]m[/inlmath] ili faktorijela broja [inlmath]m[/inlmath] i faktorijela brojeva manjih od [inlmath]m[/inlmath]. Npr. za [inlmath]m=2[/inlmath]. to su brojevi [inlmath]2!,\ 2\cdot2![/inlmath], tj. [inlmath]M_2=2[/inlmath]. Očigledna je sledeća jednakost:
[dispmath]M_m=m\cdot(M_{m-1}+M_{m-2}+\cdots+M_2+1)[/dispmath]
Kako je:
[dispmath]M_2=2=\frac{2!\cdot2}{2},\qquad M_3=3\cdot(2+1)=\frac{3!\cdot3}{2}[/dispmath]
pretpostavimo da je:
[dispmath]M_{n-1}=\frac{(n-1)!\cdot(n-1)}{2}[/dispmath]
Tada je:
[dispmath]\begin{align}
M_n & =n\cdot(M_{n-1}+M_{n-2}+\cdots+M_2+1)\\\
\\
& =n\cdot\left(\frac{(n-1)!\cdot(n-1)}{2}+\frac{(n-2)!\cdot(n-2)}{2}+\cdots+\frac{(2)!\cdot2}{2}+1\right)\\\
\\
& =\frac{n}{2}\cdot\bigl((n-1)!\cdot(n-1)+(n-2)!\cdot(n-2)+\cdots+2!\cdot2+2\bigr)
\end{align}[/dispmath]
Zbog toga što je [inlmath](n-1)!\cdot(n-1)+(n-1)!=n![/inlmath], izraz u zagradi jednak je [inlmath]n![/inlmath]. Tada je:
[dispmath]M_n=\frac{n}{2}\cdot n![/dispmath]
što je trebalo i dokazati.
Broj članova između [inlmath]k![/inlmath] i [inlmath](k+1)![/inlmath] jednak je broju članova iz datog niza koji sadrže faktorijel [inlmath]k[/inlmath] ili faktorijel [inlmath]k[/inlmath] i faktorijele brojeva manjih od [inlmath]k[/inlmath]. Kako jedan broj iz niza odgovara jednom parnom broju (niz je rastući), i kako je broj jednih i drugih jednak, sledi da se svaki od brojeva može predstaviti jedinstveno u ovom obliku.
Možda sam malo više zakomplikovao, nadam se da ima smisla :lol: