Najveći delitelj brojeva
Poslato: Četvrtak, 31. Decembar 2015, 12:11
Pozdrav svima. Potrebno mi je razjanšnjenje rešenja jednog zadatka (ili, pak, druga ideja):
Naći najveći prirodan broj [inlmath]d[/inlmath] koji je delitelj svakog broja oblika [inlmath]n(n+1)(2n+1996)[/inlmath] za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath].
Rešenje:
Neka je [inlmath]f(n)=n(n+1)(2n+1996),\;f(1)=2\cdot1998=2^2\cdot3^3\cdot37[/inlmath]. Dakle [inlmath]d=2^x\cdot3^y\cdot37^z[/inlmath] i [inlmath]x\le2,\;y\le3,\;z\le1[/inlmath]. [inlmath]f(2)=12000=2^7\cdot3\cdot5^3[/inlmath], pa je [inlmath]d[/inlmath] deljiv samo prostim brojevima [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] tj. [inlmath]d=2^\alpha\cdot3^\beta[/inlmath] i [inlmath]\alpha\le2[/inlmath], [inlmath]\beta\le1[/inlmath]. Lako se dokazuje da je [inlmath]f(n)[/inlmath] deljivo sa [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] pa je [inlmath]d=12[/inlmath].
Kako je iz [inlmath]f(1)=2\cdot1998=2^2\cdot3^3\cdot37[/inlmath] zaključeno da je [inlmath]x\le2,\;y\le3,\;z\le1[/inlmath]?
Zašto iz [inlmath]f(2)=12000=2^7\cdot3\cdot5^3[/inlmath] sledi da je [inlmath]d[/inlmath] deljiv samo prostim brojevima [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath]?
Da li bi se deljivost [inlmath]f(n)[/inlmath] brojevima [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] izvela matematičkom indukcijom, ili postoji neki drugi put?
Ako su neka od pitanja suvišna, izvinite, ali elementarna teorija brojeva se nije ni dotakla u školi, pa sa njom imam dosta problema.
Naći najveći prirodan broj [inlmath]d[/inlmath] koji je delitelj svakog broja oblika [inlmath]n(n+1)(2n+1996)[/inlmath] za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath].
Rešenje:
Neka je [inlmath]f(n)=n(n+1)(2n+1996),\;f(1)=2\cdot1998=2^2\cdot3^3\cdot37[/inlmath]. Dakle [inlmath]d=2^x\cdot3^y\cdot37^z[/inlmath] i [inlmath]x\le2,\;y\le3,\;z\le1[/inlmath]. [inlmath]f(2)=12000=2^7\cdot3\cdot5^3[/inlmath], pa je [inlmath]d[/inlmath] deljiv samo prostim brojevima [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] tj. [inlmath]d=2^\alpha\cdot3^\beta[/inlmath] i [inlmath]\alpha\le2[/inlmath], [inlmath]\beta\le1[/inlmath]. Lako se dokazuje da je [inlmath]f(n)[/inlmath] deljivo sa [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] pa je [inlmath]d=12[/inlmath].
Kako je iz [inlmath]f(1)=2\cdot1998=2^2\cdot3^3\cdot37[/inlmath] zaključeno da je [inlmath]x\le2,\;y\le3,\;z\le1[/inlmath]?
Zašto iz [inlmath]f(2)=12000=2^7\cdot3\cdot5^3[/inlmath] sledi da je [inlmath]d[/inlmath] deljiv samo prostim brojevima [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath]?
Da li bi se deljivost [inlmath]f(n)[/inlmath] brojevima [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] izvela matematičkom indukcijom, ili postoji neki drugi put?
Ako su neka od pitanja suvišna, izvinite, ali elementarna teorija brojeva se nije ni dotakla u školi, pa sa njom imam dosta problema.