Pozdrav, ako može pomoć oko zadatka.
Dokazati da je [inlmath]n^n-n[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za svaki neparan prirodan broj.
Svaki neparan prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] možemo prikazati u obliku [inlmath]2k+1[/inlmath] gdje je [inlmath]k=0,1,2\ldots[/inlmath] pa imamo:
[dispmath]n^n-n=n\left(n^{(n-1)}-1\right)=(2k+1)\left((2k+1)^{2k}-1\right)=(2k+1)\left((2k+1)^k-1\right)\left((2k+1)^k+1\right)=[/dispmath]
Budući da je broj [inlmath](2k+1)^k[/inlmath] neparan za svaki [inlmath]k[/inlmath], imamo da su brojevi [inlmath](2k+1)^k-1[/inlmath] i [inlmath](2k+1)^k+1[/inlmath] dva uzastopna parna broja što znači da je jedan djeljiv sa [inlmath]2[/inlmath] a drugi sa [inlmath]4[/inlmath] pa je početni izraz djeljiv sa [inlmath]8[/inlmath]. Dalje, mislio sam pokazati da je početni izraz djeljiv sa [inlmath]3[/inlmath] pa kako je [inlmath]\text{NZD}(8,3)=1[/inlmath] slijedi da je djeljiv i sa [inlmath]24[/inlmath].