Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Djeljivost sa 24

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Djeljivost sa 24

Postod xyz » Ponedeljak, 18. April 2016, 09:59

Pozdrav, ako može pomoć oko zadatka.
Dokazati da je [inlmath]n^n-n[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za svaki neparan prirodan broj.
Svaki neparan prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] možemo prikazati u obliku [inlmath]2k+1[/inlmath] gdje je [inlmath]k=0,1,2\ldots[/inlmath] pa imamo:
[dispmath]n^n-n=n\left(n^{(n-1)}-1\right)=(2k+1)\left((2k+1)^{2k}-1\right)=(2k+1)\left((2k+1)^k-1\right)\left((2k+1)^k+1\right)=[/dispmath]
Budući da je broj [inlmath](2k+1)^k[/inlmath] neparan za svaki [inlmath]k[/inlmath], imamo da su brojevi [inlmath](2k+1)^k-1[/inlmath] i [inlmath](2k+1)^k+1[/inlmath] dva uzastopna parna broja što znači da je jedan djeljiv sa [inlmath]2[/inlmath] a drugi sa [inlmath]4[/inlmath] pa je početni izraz djeljiv sa [inlmath]8[/inlmath]. Dalje, mislio sam pokazati da je početni izraz djeljiv sa [inlmath]3[/inlmath] pa kako je [inlmath]\text{NZD}(8,3)=1[/inlmath] slijedi da je djeljiv i sa [inlmath]24[/inlmath].
xyz  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 12 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Djeljivost sa 24

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. April 2016, 14:00

Dovde je dobro. Radi dokazivanja deljivosti sa [inlmath]3[/inlmath], rastavi faktore [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] prema formulama [inlmath]a^n-b^n=\left(a-b\right)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k[/inlmath] i [inlmath]a^n+b^n=\left(a+b\right)\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^ka^{n-k-1}b^k[/inlmath] (ova druga važi samo za neparno [inlmath]n[/inlmath], kao što u ovom zadatku i jeste slučaj) – obe formule imaš u ovoj temi.

Nakon toga će ti figurisati faktori [inlmath]2k[/inlmath], [inlmath]2k+1[/inlmath] i [inlmath]2k+2[/inlmath], koji predstavljaju tri uzastopna prirodna broja, što znači da je jedan od njih sigurno deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. A samim tim je i čitav proizvod deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Djeljivost sa 24

Postod xyz » Ponedeljak, 18. April 2016, 16:27

Pokušavao sam na taj nacin ali izraz [inlmath](2k+1)^k+1[/inlmath] se ne može rastaviti kao zbir [inlmath]k[/inlmath]-tih stepena jer [inlmath]k[/inlmath] može biti i parno. Več smo na početku uveli smjenu da je neparno [inlmath]n[/inlmath] iz uslova zadatka oblika [inlmath]n=2k+1[/inlmath] gdje je [inlmath]k=0,1,2\ldots[/inlmath]
xyz  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 12 puta

Re: Djeljivost sa 24

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. April 2016, 16:35

U pravu si, izvinjavam se, ja sve vreme ovo [inlmath]k[/inlmath] u eksponentu posmatrao kao da je [inlmath]n[/inlmath].
Što bi rekô moj profa s faksa – „Nemojte ovo nikom da pričate.“ :D
Razmisliću o odgovoru.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Djeljivost sa 24

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. April 2016, 17:05

Možemo razmatrati dva slučaja:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]2k+1[/inlmath] je deljivo sa [inlmath]3[/inlmath].
Tada je izraz [inlmath]\left(2k+1\right)\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], jer sadrži faktor [inlmath](2k+1)[/inlmath] koji je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]2k+1[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath].
Tada ni [inlmath]\left(2k+1\right)^k[/inlmath] ne može biti deljivo sa [inlmath]3[/inlmath].
Pošto su [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)[/inlmath], [inlmath]\left(2k+1\right)^k[/inlmath] i [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath], uzastopni prirodni brojevi, znači da jedan od njih mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Pošto ovaj drugi, [inlmath]\left(2k+1\right)^k[/inlmath], po uslovu ovog slučaja nije deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], sledi da ili [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)[/inlmath] ili [inlmath]\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
Tada je izraz [inlmath]\left(2k+1\right)\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].


Prema tome, ovime je pokazano da je u oba slučaja (i kada je [inlmath]2k+1[/inlmath] deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] i kada [inlmath]2k+1[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]) ceo izraz [inlmath]\left(2k+1\right)\left(\left(2k+1\right)^k-1\right)\left(\left(2k+1\right)^k+1\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 36 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:40 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs