od Onomatopeja » Petak, 06. Maj 2016, 17:02
Ne postoji takvo [inlmath]n[/inlmath].
Naravno, jasno je da je tvoje tvrdjenje ekvivaletno sa tim da odredimo da li postoji [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] takvo da je [inlmath]2^n\equiv-1\pmod{299}[/inlmath]. Ako bismo pretpostavili da postoji [inlmath]m\in\mathbb{N}[/inlmath] takvo da je [inlmath]2^m\equiv-1\pmod {299}[/inlmath], to bismo imali i [inlmath]2^m\equiv-1\pmod{23}[/inlmath], no ovo poslednje nije moguce. Naime, za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] sistem ostataka od [inlmath]2^n[/inlmath] po modulu [inlmath]23[/inlmath] je jednak [inlmath]\{2,4,8,16,9,18,13,3,6,12,1\}[/inlmath] (pisem redom, tj. u odnosu na [inlmath]n=1[/inlmath], pa [inlmath]n=2[/inlmath], itd. (posle [inlmath]n=11[/inlmath] kada je [inlmath]2^n\equiv1\pmod{23}[/inlmath] se ponavljaju ostaci)). Kako [inlmath]-1[/inlmath] (odnosno [inlmath]22=23-1[/inlmath]) ne pripada ovom prethodnom skupu, to ne postoji [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] takvo da je [inlmath]2^n\equiv-1\pmod{23}[/inlmath].
Inace, da, tvoje razmatranje da ako [inlmath]n[/inlmath] postoji to onda [inlmath]n[/inlmath] mora biti parno je dobro. Takodje, iskoristili smo i rastavljanje [inlmath]299=13\cdot23[/inlmath] koje si spomenula (napomenimo da nismo gledali sve [inlmath]\bmod13[/inlmath], jer je [inlmath]2^6\equiv-1\pmod{13}[/inlmath], pa nam to ne pomaze mnogo).