Pozdrav ovaj zadatak resavam uglavnom uspesno ali mi se ponekad cini previse lako i previse brzo zavrsim.Naime potrebno je dokazati da je broj deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] u ovom slucaju
[dispmath]10\cdot3^{2n+1}-24n-30[/dispmath]
Onako kako ja to shvatam ako dokazem da je broj u bar jednom slucaju deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] i to dokazem za sledeci broj,izraz ce biti deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za svako [inlmath]n[/inlmath] u skupu prirodnih brojeva
[dispmath]T_1=10\cdot3^{2\cdot1+1}-24\cdot1-30=10\cdot27-54=270-54=216=24\cdot9[/dispmath]
dokazano je deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za bar jedno [inlmath]n[/inlmath]
[dispmath]T_{n+1}=10\cdot3^{2\cdot(n+1)+1}-24\cdot(n+1)-30[/dispmath][dispmath]T_{n+1}=10\cdot3^{2n+3}-24n-24-30[/dispmath]
sad da bi dobio uslov rasclanjujem eksopencijalni broj
[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}\right)\cdot3^2-24n-54[/dispmath]
sad nadopisem ono sto mi treba za pretpostavku i oduzmem to da bi izraz ostao u ravnotezi
[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30+24n+30\right)\cdot9-24n-54[/dispmath]
ono sto je uslov ostavljam u zagradi ova dva mnozim sa [inlmath]9[/inlmath] (da li ovo smem da radim?)
[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30\right)\cdot9+216n+270-24n-54[/dispmath][dispmath]T_{n+1}=\left(\underline{10\cdot3^{2n+1}-24n-30}\right)\cdot9+192n+216[/dispmath]
Podvuceno je deljivo sa [inlmath]24[/inlmath] po pretpostavci a kako su brojevi [inlmath]192[/inlmath] i [inlmath]216[/inlmath] deljivi sa [inlmath]24[/inlmath] ceo izraz je deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] i time je dokazano da je ovaj broj deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]
Zadatak se relativno brzo resi pa da pitam da li neko vidi neko odstupanje ili neku nepravilnost?
P.S Nisam uspeo da nadjem u latexu kako da otkucam znak "za svako"(obrnuto A)