Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Matematicka indukcija – Dokaz deljivosti

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]
  • +1

Matematicka indukcija – Dokaz deljivosti

Postod Batonja » Četvrtak, 05. Maj 2016, 19:21

Pozdrav ovaj zadatak resavam uglavnom uspesno ali mi se ponekad cini previse lako i previse brzo zavrsim.Naime potrebno je dokazati da je broj deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] u ovom slucaju
[dispmath]10\cdot3^{2n+1}-24n-30[/dispmath]
Onako kako ja to shvatam ako dokazem da je broj u bar jednom slucaju deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] i to dokazem za sledeci broj,izraz ce biti deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za svako [inlmath]n[/inlmath] u skupu prirodnih brojeva
[dispmath]T_1=10\cdot3^{2\cdot1+1}-24\cdot1-30=10\cdot27-54=270-54=216=24\cdot9[/dispmath]
dokazano je deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za bar jedno [inlmath]n[/inlmath]
[dispmath]T_{n+1}=10\cdot3^{2\cdot(n+1)+1}-24\cdot(n+1)-30[/dispmath][dispmath]T_{n+1}=10\cdot3^{2n+3}-24n-24-30[/dispmath]
sad da bi dobio uslov rasclanjujem eksopencijalni broj
[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}\right)\cdot3^2-24n-54[/dispmath]
sad nadopisem ono sto mi treba za pretpostavku i oduzmem to da bi izraz ostao u ravnotezi
[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30+24n+30\right)\cdot9-24n-54[/dispmath]
ono sto je uslov ostavljam u zagradi ova dva mnozim sa [inlmath]9[/inlmath] (da li ovo smem da radim?)
[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30\right)\cdot9+216n+270-24n-54[/dispmath][dispmath]T_{n+1}=\left(\underline{10\cdot3^{2n+1}-24n-30}\right)\cdot9+192n+216[/dispmath]
Podvuceno je deljivo sa [inlmath]24[/inlmath] po pretpostavci a kako su brojevi [inlmath]192[/inlmath] i [inlmath]216[/inlmath] deljivi sa [inlmath]24[/inlmath] ceo izraz je deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] i time je dokazano da je ovaj broj deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]

Zadatak se relativno brzo resi pa da pitam da li neko vidi neko odstupanje ili neku nepravilnost?
P.S Nisam uspeo da nadjem u latexu kako da otkucam znak "za svako"(obrnuto A)
Batonja  OFFLINE
 
Postovi: 94
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Matematicka indukcija – Dokaz deljivosti

Postod pentagram142857 » Četvrtak, 05. Maj 2016, 21:21

Ne moze tako. Ja bi to ovako radio:

[dispmath]10\cdot3^{2n+1}-24n-30=30\cdot3^{2n}-24n-30=6\left(5\cdot3^{2n}-4n-5\right)=\\
=6\Bigl(5\left(3^{2n}-1\right)-4n\Bigr)=6\Bigl(5\left(3^n-1\right)\left(3^n+1\right)-4n\Bigr)[/dispmath]
Deljiv je sa [inlmath]6[/inlmath] posto sestica mnozi zagradu, brojevi [inlmath]3^n-1[/inlmath] i [inlmath]3^n+1[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]2[/inlmath], sto znaci da je njihov proizvod deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], i kad se od tog proizvoda oduzme [inlmath]4n[/inlmath], opet se dobije broj koji je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath]. Cim je ceo ovaj izraz deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath], znaci da je deljiv i sa [inlmath]24[/inlmath].

Ta 3 slucaja koja si ti radio ([inlmath]1[/inlmath], [inlmath]n[/inlmath], i [inlmath]n+1[/inlmath]) se koriste za dokazivanje zadataka tipa: [inlmath]1+3+5+7+\cdots+2n-1=n^2[/inlmath], a kod deljivosti treba samo da sredis izraz tako da dobijes proizvod, pa da onda prokomentarises.
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 49 puta
Pohvaljen: 120 puta

Re: Matematicka indukcija – Dokaz deljivosti

Postod Miladin Jovic » Četvrtak, 05. Maj 2016, 23:25

pentagram142857 je propustio da odgovori na najbitniji deo pitanja,tj. kako se piše "za svako" u Latex-u. ;) Koristi \forall .
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 378
Zahvalio se: 243 puta
Pohvaljen: 138 puta

  • +1

Re: Matematicka indukcija – Dokaz deljivosti

Postod Daniel » Petak, 06. Maj 2016, 01:20

@Batonja, postupak ti je skroz OK, nemam zamerki, dokaz koji si izveo indukcijom sasvim je validan.
Morao sam da ti dam thanks, zbog truda da sve ovo ispišeš. :)

Samo mali savet radi elegantnijeg i lakšeg postupka:
Batonja je napisao:[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30+24n+30\right)\cdot9-24n-54[/dispmath]
ono sto je uslov ostavljam u zagradi ova dva mnozim sa [inlmath]9[/inlmath] (da li ovo smem da radim?)
[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30\right)\cdot9+216n+270-24n-54[/dispmath]

Umesto što si množio [inlmath]9[/inlmath] sa [inlmath]24n[/inlmath], kao i [inlmath]9[/inlmath] sa [inlmath]30[/inlmath], lakše bi bilo da si to ostavio u obliku proizvoda:
[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30\right)\cdot9+9\cdot24n+9\cdot30-24n-54[/dispmath]
pa i ako [inlmath]-54[/inlmath] napišemo kao [inlmath]-30-24[/inlmath],
[dispmath]T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30\right)\cdot9+\underbrace{9\cdot24n-24n}_{8\cdot24n}+\underbrace{9\cdot30-30}_{8\cdot30=24\cdot10}-24\\
T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30\right)\cdot9+8\cdot24n+24\cdot10-24\\
T_{n+1}=\left(10\cdot3^{2n+1}-24n-30\right)\cdot9+24\left(8n+10-1\right)[/dispmath]
i vidimo da su oba sabirka deljiva sa [inlmath]24[/inlmath]. Kraj.



Pentagramovo rešenje bez upotrebe indukcije veoma mi se svidelo! :thumbup:

Jedino imam zamerku na jednu rečenicu:
pentagram142857 je napisao:[dispmath]\cdots=6\Bigl(5\left(3^n-1\right)\left(3^n+1\right)-4n\Bigr)[/dispmath]
Deljiv je sa [inlmath]6[/inlmath] posto sestica mnozi zagradu, brojevi [inlmath]3^n-1[/inlmath] i [inlmath]3^n+1[/inlmath] su deljivi sa [inlmath]2[/inlmath], sto znaci da je njihov proizvod deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], i kad se od tog proizvoda oduzme [inlmath]4n[/inlmath], opet se dobije broj koji je deljiv sa [inlmath]4[/inlmath]. Cim je ceo ovaj izraz deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath], znaci da je deljiv i sa [inlmath]24[/inlmath].

Ova poslednja rečenica mi je problematična. Ako je neki broj deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] i sa [inlmath]6[/inlmath], ne mora značiti da je deljiv i sa [inlmath]24[/inlmath]. Kontraprimer bi bio broj [inlmath]12[/inlmath], koji jeste deljiv i sa [inlmath]4[/inlmath] i sa [inlmath]6[/inlmath], a nije sa [inlmath]24[/inlmath].
Znam na šta je Pentagram mislio, ali u matematici se moramo izražavati precizno. :)
Zato bi valjalo, kad smo došli do ovog koraka,
[dispmath]\cdots=6\Bigl(5\left(3^n-1\right)\left(3^n+1\right)-4n\Bigr)[/dispmath]
sada reći: Pošto je izraz [inlmath]\left(3^n-1\right)\left(3^n+1\right)[/inlmath] deljiv sa [inlmath]4[/inlmath] (Pentagram je objasnio zbog čega), možemo ga zapisati kao [inlmath]4k[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] neki ceo broj:
[dispmath]\begin{align}
\cdots&=6\left(5\cdot4k-4n\right)\\
&=6\cdot4\left(5k-n\right)\\
&=24\left(5k-n\right)
\end{align}[/dispmath]
čime je pokazano da je izraz deljiv sa [inlmath]24[/inlmath].



Miladin Jovic je napisao:...kako se piše "za svako" u Latex-u. ;) Koristi \forall .

Tako je, taj simbol je u Latex-uputstvu naveden pod stavkom „Logički simboli“.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Matematicka indukcija – Dokaz deljivosti

Postod Onomatopeja » Petak, 06. Maj 2016, 17:26

Ja bih, ipak (jer mislim da je to vazno), morao da istaknem jos jednom (jer je Daniel vec to rekao) da ova recenica
pentagram142857 je napisao:Ne moze tako.

nije tacna, tj. da je sasvim validno kako si (@Batonja) uradio u prvom postu.

Naravno, moguce da je sledeca recenica (koja je, pre bih rekao, lose „sklopljena“)
Batonja je napisao:Onako kako ja to shvatam ako dokazem da je broj u bar jednom slucaju deljiv sa [inlmath]24[/inlmath] i to dokazem za sledeci broj,izraz ce biti deljiv sa [inlmath]24[/inlmath]

unela zabunu, jer ona nije tacna. Naime, ako postoji broj [inlmath]m\in\mathbb{N}[/inlmath] za koje vazi tvrdjenje i znas da ako tvrdjenje vazi za [inlmath]n[/inlmath] da ono vazi i za [inlmath]n+1[/inlmath], time samo znas da tvrdjenje vazi za sve prirodne brojeve posle (ukljucujuci) [inlmath]m[/inlmath], no ne mozes da tvrdis da tvrdjenje vazi za brojeve [inlmath]1,2,3,\ldots,m-1[/inlmath]. Da bi se osigurao da vazi i tada to se proverava bazni slucaj [inlmath]n=1[/inlmath]. Ti si tako (baza [inlmath]n=1[/inlmath], induktivna hipoteza, induktivni korak) i uradio u svom postu, ali ovom recenicom koju sam citirao nisi rekao da ces tako raditi (pa zato skrecem paznju). I neke druge recenice posle ove su ti isto „kriminalne“, tj. pre bih rekao lose „sklopljene“ (no da ne navodim sad).

Inace @Batonja posle tacke, zareza, koristi blanko (space) razmak, jer time omogucavas bolje formatiranje teksta.
 
Postovi: 613
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 588 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 38 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:25 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs