Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Matematička indukcija – slučaj nejednačina

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Matematička indukcija – slučaj nejednačina

Postod smarko1983 » Četvrtak, 09. Jun 2016, 20:13

Imam problema sa razumevanjem indukcije kod nejednačina. Na primer, zadatak glasi:
matematičkom indukcijom dokazati da je [inlmath]n^2<2^n[/inlmath] ako je [inlmath]\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] i ako je [inlmath]n\geq5[/inlmath]
1) baza indukcije: za [inlmath]n=5[/inlmath], imamo da je [inlmath]5^2<2^5[/inlmath] pa sledi da je [inlmath]25<32[/inlmath] što je tačno.
2) induktivni korak: pretpostavljamo da je tačno i za [inlmath]n+1[/inlmath], pa onda imamo sledeće:
[dispmath](n+1)^2<2^{n+1}[/dispmath][dispmath]n^2+2n+1<2^n\cdot2[/dispmath][dispmath]n^2+2n+1<n^2\cdot2[/dispmath]
Ovo je slučaj "zamene" [inlmath]2^n[/inlmath] iz drugog reda sa [inlmath]n^2[/inlmath] iz hipoteze ( [inlmath]n^2<2^n[/inlmath]). Kada sredimo, dobijamo izraz [inlmath]2n+1<5[/inlmath], pa kada proverimo sa nekim [inlmath]n[/inlmath] koje je veće ili jednako od [inlmath]5[/inlmath], na primer, [inlmath]n=5[/inlmath] , onda dobijemo da je [inlmath]2\cdot5+1<5^2[/inlmath], tj. [inlmath]11<25[/inlmath] , što je tačno.
Meni nije jasna ta "smena" [inlmath]2^n[/inlmath] sa [inlmath]n^2[/inlmath], zašto je to moguće? Jasno je da je [inlmath]n^2[/inlmath] manje od [inlmath]2^n[/inlmath], tako da mi u suštini tvrdimo da nešto što je sa desne strane znaka [inlmath]<[/inlmath] i dalje veće od onoga sa leve strane tog znaka iako je jasno da je ta vrednost sa desne strane sada manja nego pre te "smene" jer [inlmath]n^2\cdot2[/inlmath] ima manju vrednost od [inlmath]2^n\cdot2[/inlmath]. Kako nešto tako i dalje možemo da tvrdimo, na osnovu čega?
Ako u drugom slučaju, umesto [inlmath]2^n[/inlmath] iz drugog reda zamenimo [inlmath]n^2[/inlmath], dobićemo [inlmath]2^n+2n+1<2^n\cdot2[/inlmath] , pa kada sredimo i proverimo sa [inlmath]5[/inlmath], dobijamo opet tačan iskaz: [inlmath]21,5<32[/inlmath]. Ovde smo ubacili sa leve strane veću vrednost ([inlmath]2^n[/inlmath] je veće od [inlmath]n^2[/inlmath] ) a i dalje tvrdimo da je iskaz sa leve strane manji od iskaza sa desne strane, iako je tačno, verujem da postoje neki primeri gde ta "smena" neće biti moguća ili grešim?
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Matematička indukcija – slučaj nejednačina

Postod xyz » Četvrtak, 09. Jun 2016, 23:24

2. Induktivna hipoteza [inlmath]2^n>n^2[/inlmath]
3. Trebamo dokazati
[dispmath]2^{n+1}>(n+1)^2[/dispmath][dispmath]2\cdot2^n>n^2+2n+1[/dispmath]
Pomnožimo IH sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]2\cdot2^n>2\cdot n^2=n^2+n^2>n^2+2n+1[/dispmath]
Samo još treba pokazati da je [inlmath]n^2>2n+1[/inlmath]
Kao što vidiš nisam koristio nikakvu smjenu, vjerovatno si se zbunio jer ti je falilo par koraka.
xyz  OFFLINE
 
Postovi: 15
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 12 puta

  • +1

Re: Matematička indukcija – slučaj nejednačina

Postod Daniel » Četvrtak, 09. Jun 2016, 23:48

smarko1983 je napisao:Meni nije jasna ta "smena" [inlmath]2^n[/inlmath] sa [inlmath]n^2[/inlmath], zašto je to moguće? Jasno je da je [inlmath]n^2[/inlmath] manje od [inlmath]2^n[/inlmath], tako da mi u suštini tvrdimo da nešto što je sa desne strane znaka [inlmath]<[/inlmath] i dalje veće od onoga sa leve strane tog znaka iako je jasno da je ta vrednost sa desne strane sada manja nego pre te "smene" jer [inlmath]n^2\cdot2[/inlmath] ima manju vrednost od [inlmath]2^n\cdot2[/inlmath]. Kako nešto tako i dalje možemo da tvrdimo, na osnovu čega?

Upravo ovo je i mene zbunilo dok sam pratio priloženi postupak, zbog čega ne mislim da bi se takav dokaz mogao smatrati validnim.
Je l' to prepisan postupak iz neke zbirke, ili...?

Potvrđujem ispravnost xyz-ovog dokaza. :correct:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Matematička indukcija – slučaj nejednačina

Postod smarko1983 » Petak, 10. Jun 2016, 01:41

@xyz, kako si došao do toga je [inlmath]2\cdot n^2>n^2+2n+1[/inlmath] ? Imaš slučaj da je [inlmath]a>c[/inlmath] i da je [inlmath]a>b[/inlmath] , ne možeš da iskoristiš hipotetički silogizam da zaključiš da je [inlmath]b>c[/inlmath] ili [inlmath]c>b[/inlmath] .
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 10. Jun 2016, 07:46, izmenjena samo jedanput
Razlog: Uklonjen suvišan citat – tačka 15. Pravilnika
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Matematička indukcija – slučaj nejednačina

Postod smarko1983 » Petak, 10. Jun 2016, 01:57

Daniel je napisao:Upravo ovo je i mene zbunilo dok sam pratio priloženi postupak, zbog čega ne mislim da bi se takav dokaz mogao smatrati validnim.
Je l' to prepisan postupak iz neke zbirke, ili...?

Čak sam sad video da ima i grešku:
"...Kada sredimo, dobijamo izraz [inlmath]2n+1<5[/inlmath], pa kada..." Trebalo je da stoji [inlmath]2n+1<n^2[/inlmath].
Mislim da sam prepisao iz neke strane knjige o dokazima, ali se ne sećam koje. Možda je bila "First course in set theory" , mada nisam siguran.
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 10. Jun 2016, 07:47, izmenjena samo jedanput
Razlog: Skraćivanje citata – tačka 15. Pravilnika
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Matematička indukcija – slučaj nejednačina

Postod Daniel » Petak, 10. Jun 2016, 07:54

Molim te da izbegavaš citiranje celih postova, time se narušava preglednost, a i protivno je tački 15. Pravilnika. Uklonio/skratio sam suvišne citate.

smarko1983 je napisao:@xyz, kako si došao do toga je [inlmath]2\cdot n^2>n^2+2n+1[/inlmath] ?

Kao što je xyz i napisao,
xyz je napisao:Samo još treba pokazati da je [inlmath]n^2>2n+1[/inlmath]

Dakle, to se naknadno dokazuje. Reši se kvadratna nejednačina i time se pokaže da za zadati interval vrednosti [inlmath]n[/inlmath] nema brige da će ta nejednakost biti zadovoljena.

smarko1983 je napisao:Čak sam sad video da ima i grešku:
"...Kada sredimo, dobijamo izraz [inlmath]2n+1<5[/inlmath], pa kada..." Trebalo je da stoji [inlmath]2n+1<n^2[/inlmath].

Da, to je i mene zbunilo, ali se nakon one prethodne suštinske greške sa [inlmath]a<b\;\land\;c<b\;\Rightarrow\;a<c[/inlmath] nisam dalje nešto ni udubljivao u postupak...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs