Imam problema sa razumevanjem indukcije kod nejednačina. Na primer, zadatak glasi:
matematičkom indukcijom dokazati da je [inlmath]n^2<2^n[/inlmath] ako je [inlmath]\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath] i ako je [inlmath]n\geq5[/inlmath]
1) baza indukcije: za [inlmath]n=5[/inlmath], imamo da je [inlmath]5^2<2^5[/inlmath] pa sledi da je [inlmath]25<32[/inlmath] što je tačno.
2) induktivni korak: pretpostavljamo da je tačno i za [inlmath]n+1[/inlmath], pa onda imamo sledeće:
[dispmath](n+1)^2<2^{n+1}[/dispmath][dispmath]n^2+2n+1<2^n\cdot2[/dispmath][dispmath]n^2+2n+1<n^2\cdot2[/dispmath]
Ovo je slučaj "zamene" [inlmath]2^n[/inlmath] iz drugog reda sa [inlmath]n^2[/inlmath] iz hipoteze ( [inlmath]n^2<2^n[/inlmath]). Kada sredimo, dobijamo izraz [inlmath]2n+1<5[/inlmath], pa kada proverimo sa nekim [inlmath]n[/inlmath] koje je veće ili jednako od [inlmath]5[/inlmath], na primer, [inlmath]n=5[/inlmath] , onda dobijemo da je [inlmath]2\cdot5+1<5^2[/inlmath], tj. [inlmath]11<25[/inlmath] , što je tačno.
Meni nije jasna ta "smena" [inlmath]2^n[/inlmath] sa [inlmath]n^2[/inlmath], zašto je to moguće? Jasno je da je [inlmath]n^2[/inlmath] manje od [inlmath]2^n[/inlmath], tako da mi u suštini tvrdimo da nešto što je sa desne strane znaka [inlmath]<[/inlmath] i dalje veće od onoga sa leve strane tog znaka iako je jasno da je ta vrednost sa desne strane sada manja nego pre te "smene" jer [inlmath]n^2\cdot2[/inlmath] ima manju vrednost od [inlmath]2^n\cdot2[/inlmath]. Kako nešto tako i dalje možemo da tvrdimo, na osnovu čega?
Ako u drugom slučaju, umesto [inlmath]2^n[/inlmath] iz drugog reda zamenimo [inlmath]n^2[/inlmath], dobićemo [inlmath]2^n+2n+1<2^n\cdot2[/inlmath] , pa kada sredimo i proverimo sa [inlmath]5[/inlmath], dobijamo opet tačan iskaz: [inlmath]21,5<32[/inlmath]. Ovde smo ubacili sa leve strane veću vrednost ([inlmath]2^n[/inlmath] je veće od [inlmath]n^2[/inlmath] ) a i dalje tvrdimo da je iskaz sa leve strane manji od iskaza sa desne strane, iako je tačno, verujem da postoje neki primeri gde ta "smena" neće biti moguća ili grešim?