Stranica 1 od 1

Indukcija – dokaz nejednacine

PostPoslato: Subota, 26. Novembar 2016, 20:13
od ss_123
Trebam pomoc sa sledecim zadatkom
Ispitati da li vrijedi:
[dispmath]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}[/dispmath]
Provjerio sam za [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] i vazi. Za [inlmath]1[/inlmath] ne vazi. Znaci ako pokazem da vrijedi reci cu da vrijedi za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]

Zbunjuje me induktivna (ili indukcijska) pretpostavka jer je ovo nejednacina, a ne jednacina...
Da li ide ovako
[dispmath]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2(n+1)}>\frac{13}{24}[/dispmath]
I nisam siguran da li se dodaje isti element i desnoj strani?

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

PostPoslato: Subota, 26. Novembar 2016, 21:17
od mala_mu
Baza: za [inlmath]n=2[/inlmath] imamo [inlmath]\frac{14}{24}>\frac{13}{24}[/inlmath], što je tačno

Korak: Pretpostavimo da vrijedi za [inlmath]n=k[/inlmath]
[dispmath]\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}>\frac{13}{24}[/dispmath]
Trebamo dokazati da je tvrđenje tačno za [inlmath]n=k+1[/inlmath], tj. trebamo dokazati
[dispmath]\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)}>\frac{13}{24}[/dispmath]
Obilježiću sa [inlmath]S_k=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}[/inlmath], po pretpostavci je [inlmath]S_k>\frac{13}{24}[/inlmath],
i [inlmath]S_{k+1}=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)}[/inlmath]

Sada posmatramo razliku [inlmath]S_{k+1}-S_k[/inlmath], poslije malo računanja dobije se:
[dispmath]S_{k+1}-S_k=\frac{1}{2(2k+1)(k+1)}[/dispmath]
Znamo da je [inlmath]S_{k+1}-S_k>0[/inlmath], jer je [inlmath]k>0,\;k+1>0,\;2k+1>0[/inlmath]
[dispmath]S_{k+1}-S_k>0\\
S_{k+1}>S_k>\frac{13}{24}[/dispmath]
po induktivnoj pretpostavci
Dokazali smo [inlmath]S_{k+1}>\frac{13}{24}[/inlmath]

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

PostPoslato: Subota, 26. Novembar 2016, 22:54
od ss_123
A zasto u svakom clanu u pretpostavci mijenjamo [inlmath]k[/inlmath] sa [inlmath]k+1[/inlmath] i jos dodajemo sljedeci clan?
Ja sam mislio da treba jedno od to dvoje.
Kod jednacina(suma), jel tako, dodajemo samo sljedeci clan?

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

PostPoslato: Nedelja, 27. Novembar 2016, 01:14
od Daniel
ss_123 je napisao:Provjerio sam za [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] i vazi. Za [inlmath]1[/inlmath] ne vazi. Znaci ako pokazem da vrijedi reci cu da vrijedi za [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]

Ne, nego za [inlmath]n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}[/inlmath], upravo zbog toga što, kako si i sâm konstatovao, zadata nejednakost ne važi za [inlmath]n=1[/inlmath].

ss_123 je napisao:Da li ide ovako
[dispmath]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2(n+1)}>\frac{13}{24}[/dispmath]

Ne. Iz zadatog izraza možeš videti da imenioci sabiraka kreću od imenioca koji je za jedan veći od [inlmath]n[/inlmath], u svakom sledećem sabirku imenilac je uvećan za [inlmath]1[/inlmath] u odnosu na imenilac prethodnog sabirka, a imenilac poslednjeg sabirka je dvaput veći od [inlmath]n[/inlmath].
Koristeći ova tri jednostavna pravila lako možeš zaključiti kako treba da glasi izraz kada [inlmath]n[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]k+1[/inlmath]. Imenilac prvog sabirka biće za [inlmath]1[/inlmath] veći od [inlmath]k+1[/inlmath], tj. biće [inlmath]k+2[/inlmath], zatim, imenilac svakog sledećeg sabirka biće veći za [inlmath]1[/inlmath] od prethodnog, tj. biće [inlmath]\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+\cdots[/inlmath], a poslednji sabirak će biti [inlmath]\frac{1}{2(k+1)}[/inlmath], tj. [inlmath]\frac{1}{2k+2}[/inlmath]. To znači da će tri poslednja sabirka biti [inlmath]\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}[/inlmath]. Prema tome, ceo izraz će glasiti [inlmath]\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}[/inlmath], kako ti je mala_mu i napisala.

Re: Indukcija – dokaz nejednacine

PostPoslato: Nedelja, 27. Novembar 2016, 12:58
od ss_123
Sad mi je jasno. Zahvaljujem se na pomoci. (: