Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Poslednje dve cifre

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Poslednje dve cifre

Postod Gekko » Utorak, 06. Decembar 2016, 23:43

Odrediti poslednje dve cifre broja [inlmath]2^{100}[/inlmath].
Ovo se radi preko kongruencija, razume se, ali ima nesto sto me kopka.
Znam za onu foru da treba naci broj sa kojim je [inlmath]2^{100}[/inlmath] kongruentan po modulu [inlmath]100[/inlmath], zbog toga sto trazimo poslednje dve cifre.
Tu se sada namece Ojlerova teorema, koja, medjutim ima uslov, koji kaze da ako je [inlmath](a,m)=1[/inlmath], onda vazi kongruencija, sto ovde nije slucaj.
Nekakvim matematickim madjijama sam uspeo da odredim da je poslednja cifra [inlmath]6[/inlmath], medjutim za originalni zadatak nemam ideju :mrgreen:
Hvala unapred :D
''Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.''
-Albert Einstein
Korisnikov avatar
Gekko  OFFLINE
 
Postovi: 50
Zahvalio se: 30 puta
Pohvaljen: 8 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Poslednje dve cifre

Postod mala_mu » Sreda, 07. Decembar 2016, 00:41

Lako se vidi da je [inlmath]100=5^22^2[/inlmath]
[dispmath]2^{10}\equiv-1\pmod{25}\quad\Longrightarrow\quad2^{100}\equiv1\pmod{25}[/dispmath] Što će reći da su mogući kandidati: [inlmath]26,51,76,01[/inlmath]
[dispmath]2^2\equiv0\pmod4\quad\Longrightarrow\quad2^{100}\equiv0\pmod4[/dispmath] Pa naš sistem kongruencija glasi:
[dispmath]x\equiv1\pmod{25}[/dispmath][dispmath]x\equiv0\pmod4[/dispmath] Rješenje je [inlmath]76[/inlmath], jer zadovoljava obje kongruencije po kineskoj teoremi o ostacima
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

  • +1

Re: Poslednje dve cifre

Postod Daniel » Sreda, 07. Decembar 2016, 07:46

A može i na malo „seljačkiji“ način, bez korišćenja kongruencija i nabrojanih teorema, uz čistu intuiciju.
Pišemo poslednje cifre svih stepena dvojke počevši od [inlmath]2^1[/inlmath], dok ne uočimo periodičnost:
[dispmath]\begin{matrix}
2^1=2 & 2^7=\ldots28 & 2^{13}=\ldots92 & 2^{19}=\ldots88\\
2^2=4 & 2^8=\ldots56 & 2^{14}=\ldots84 & 2^{20}=\ldots76\\
2^3=8 & 2^9=\ldots12 & 2^{15}=\ldots68 & 2^{21}=\ldots52\\
2^4=16 & 2^{10}=\ldots24 & 2^{16}=\ldots36 & 2^{22}=\ldots04\\
2^5=32 & 2^{11}=\ldots48 & 2^{17}=\ldots72 & 2^{23}=\ldots08\\
2^6=64 & 2^{12}=\ldots96 & 2^{18}=\ldots44 & 2^{24}=\ldots16
\end{matrix}[/dispmath] i uočava se da će se nadalje poslednje dve cifre periodično ponavljati pri svakom uvećanju eksponenta za [inlmath]20[/inlmath].
To znači da će poslednje dve cifre broja [inlmath]2^{100}[/inlmath] biti iste kao i poslednje dve cifre broja [inlmath]2^{20}[/inlmath], a njih smo već našli, one su [inlmath]7[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 36 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 12:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs