od mala_mu » Nedelja, 22. Januar 2017, 15:53
Ovo lako možemo riješiti indukcijom po [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], većina zadataka se može dokazati preko indukcije.
Baza: Neka je [inlmath]n=1[/inlmath], tada [inlmath](1+1)=2[/inlmath], je djeljivo sa [inlmath]2^1[/inlmath], ali nije sa [inlmath]4=2^{1+1}[/inlmath].
Korak: Pretpostavimo da za neko [inlmath]n\ge1[/inlmath] broj [inlmath](n+1)\cdots(n+n)[/inlmath] jeste djeljiv sa [inlmath]2^n[/inlmath], a nije djeljiv sa [inlmath]2^{n+1}[/inlmath].
Trebamo dokazati da je broj [inlmath](n+1+1)\cdot(n+1+2)\cdots(n+1+n+1)[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]2^{n+1}[/inlmath], a nije djeljiv sa [inlmath]2^{n+2}[/inlmath]!
[dispmath](n+2)\cdot(n+3)\cdots(2n+1)\cdot(2n+2)=\\
2\cdot(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3)\cdots(2n+1)=\\
2(n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3)\cdots(n+n)\cdot(2n+1)[/dispmath] Gdje je [inlmath](n+1)\cdots(n+n)[/inlmath] po IP djeljivo sa [inlmath]2^n[/inlmath], pa možemo napisati [inlmath](n+1)\cdot(n+2)\cdots(n+n)=2^n\cdot k[/inlmath], [inlmath]k[/inlmath] je neparan, dalje imamo
[dispmath](n+1+1)\cdots(n+1+n+1)=2\cdot2^n\cdot k\cdot(2n+1)=2^{n+1}\cdot k\cdot(2n+1)[/dispmath] To znači da [inlmath]2^{n+1}[/inlmath] dijeli [inlmath](n+1+1)\cdots(n+1+n+1)[/inlmath]
Kako je [inlmath]k(2n+1)[/inlmath] neparan to [inlmath](n+1+1)\cdots(n+1+n+1)[/inlmath] nije djeljiv sa [inlmath]2^{n+2}[/inlmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life