Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dokazivanje deljivosti

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Re: Dokazivanje deljivosti

Postod nikola011 » Utorak, 23. Maj 2017, 22:51

E sad je daleko jasnije, hvala vam na pomoći :thumbup:
 
Postovi: 78
Zahvalio se: 65 puta
Pohvaljen: 18 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazivanje deljivosti

Postod miletrans » Sreda, 24. Maj 2017, 09:22

Dodao bih ovde još jedan način rešavanja. Po meni je teži i duži od postupka koji je predložio Corba248, ali ako profesor insistira da se radi isključivo indukcijom, onda idemo da fizikališemo... Corba248 je pokazao kako da stigneš dovde:
[dispmath]120m+5k^4+10k^3-5k^2-10k[/dispmath] Ovde treba da dokažemo deljivost zbira brojem [inlmath]120[/inlmath]. Pošto je prvi sabirak sigurno deljiv ovim brojem, treba da dokažemo da je i zbir preostalih sabiraka deljiv sa [inlmath]120[/inlmath]. To ponovo možemo da uradimo indukcijom:
[dispmath]5\cdot1^4+10\cdot1^3-5\cdot1^2-10\cdot1=5+10-5-10=0[/dispmath] Sada iz pretpostavke da je [inlmath]5\cdot k^4+10\cdot k^3-5\cdot k^2-10\cdot k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]120[/inlmath], dokazujemo deljivost sledećeg izraza:
[dispmath]5\cdot(k+1)^4+10\cdot(k+1)^3-5\cdot(k+1)^2-10\cdot(k+1)[/dispmath] Ovo kada izmnožiš i središ dobiješ:
[dispmath]5k^4+30k^3+55k^2+30k[/dispmath] Sada primenjuješ postupak analogan onome što ti je Corba248 opisao:[dispmath]5k^4+30k^3+55k^2+30k=5k^4+10k^3-5k^2-10k+20k^3+60k^2+40k=120t+20k^3+60k^2+40k[/dispmath] Sada, kao što pretpostavljaš, na analogan način dokazuješ deljivost [inlmath]20k^3+60k^2+40k[/inlmath] sa [inlmath]120[/inlmath]. Na kraju ćeš doći do toga da se tvoj polazni izraz sastoji iz više sabiraka od kojih je svaki pojedinačno deljiv sa [inlmath]120[/inlmath], pa je samim tim i zbir deljiv istim brojem.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

  • +1

Re: Dokazivanje deljivosti

Postod Daniel » Sreda, 24. Maj 2017, 13:17

nikola011 je napisao:[dispmath](k+1)^2\cdot(k+1)=\\
\left(k^2+2k+1\right)\cdot(k+1)=\\
k^3+k^2+2k^2+2k+k+1=\\
k^3+3k^2+3k+1[/dispmath][dispmath](k+1)^2\cdot(k+1)^2\cdot(k+1)=\\
\left(k^2+2k+1\right)\cdot\left(k^2+2k+1\right)\cdot(k+1)=\\
\left(k^4+2k^3+k^2+2k^3+4k^2+2k+k^2+2k+1\right)\cdot(k+1)=\\
\left(k^4+4k^3+6k^2+4k+1\right)\cdot(k+1)=\\
k^5+k^4+4k^4+4k^3+6k^3+6k^2+4k^2+4k+k+1=\\
k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1[/dispmath]

Zaista nema potrebe da ove stepene binoma razvijaš ovako postepeno, postoji gotova formula [inlmath]\displaystyle(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath].
Možeš proveriti, uvrštavanjem [inlmath]n=2[/inlmath] i [inlmath]n=3[/inlmath] dobićeš poznate formule [inlmath](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/inlmath] i [inlmath](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/inlmath].
Odatle i za [inlmath]n=5[/inlmath] možeš jednostavno doći do izraza za [inlmath](a+b)^5[/inlmath].

Corba248 je napisao:Takođe, mislim da se mogao izbeći dokaz pomoću indukcije tako što bismo razložili [inlmath]n^5-5n^3+4n[/inlmath] na faktore. Kako je [inlmath]120=2\cdot3\cdot4\cdot5[/inlmath], treba dokazati da je početni izraz deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath].

Ovo nije baš najpreciznije formulisano. Ako je izraz deljiv sa [inlmath]4[/inlmath], svakako je onda deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath]. :) Drugo, broj [inlmath]60[/inlmath] je, primera radi, deljiv svim brojevima koje si nabrojao, a ipak nije deljiv sa [inlmath]120[/inlmath].
Zato bi bilo pravilnije reći da izraz, da bi bio deljiv sa [inlmath]120[/inlmath], mora biti deljiv sa [inlmath]2^3[/inlmath], sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]5[/inlmath] – tj. deljiv svim uzajamno prostim činiocima broja [inlmath]120[/inlmath].

miletrans je napisao:[dispmath]120m+5k^4+10k^3-5k^2-10k[/dispmath] Ovde treba da dokažemo deljivost zbira brojem [inlmath]120[/inlmath].

Zaista zanimljiva ideja, :thumbup: s tim što mislim da bi bilo lakše ako bismo, umesto da dokazujemo da je [inlmath]5k^4+10k^3-5k^2-10k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]120[/inlmath], ceo taj izraz napisali kao [inlmath]5\left(k^4+2k^3-k^2-2k\right)[/inlmath], pa zatim dokazivali da je izraz unutar zagrade deljiv sa [inlmath]24[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dokazivanje deljivosti

Postod nikola011 » Sreda, 24. Maj 2017, 19:03

@Daniel Hvala za formulu!
 
Postovi: 78
Zahvalio se: 65 puta
Pohvaljen: 18 puta

Prethodna

Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 33 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs