Ja bih istakao da postoji greška u dokazivanju baznog slučaja [inlmath]n=1[/inlmath].
nikola011 je napisao:[dispmath]120\mid1^5-{\color{red}5^3}+4[/dispmath]
Trebalo bi da bude:
[dispmath]120\mid1^5-5\cdot{\color{blue}1^3}+4\\
120\mid0[/dispmath]
Takođe, mislim da se mogao izbeći dokaz pomoću indukcije tako što bismo razložili [inlmath]n^5-5n^3+4n[/inlmath] na faktore. Kako je [inlmath]120=2\cdot3\cdot4\cdot5[/inlmath], treba dokazati da je početni izraz deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath].
[dispmath]n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)[/dispmath] Uvodimo smenu [inlmath]t=n^2[/inlmath] pa izraz u zagradi postaje:
[dispmath]t^2-5t+4=(t-4)(t-1)[/dispmath] Odnosno:
[dispmath]\left(n^2-4\right)\left(n^2-1\right)=(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)[/dispmath] Uz malo premeštanja početni izraz postaje:
[dispmath]n^5-5n^3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)[/dispmath] Što predstavlja proizvod pet uzastopnih prirodnih brojeva koji je zasigurno deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]5[/inlmath], a samim tim i sa [inlmath]120[/inlmath].