Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Četvrtak, 06. Jul 2017, 20:29
od wolf11
Zadatak je sljedeci
[dispmath]\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\right )^2<\frac{1}{2},\quad n\geq1[/dispmath]
osnovni korak za [inlmath]n=1[/inlmath] je trivijalan. indukcijska pretpostavka bi bila za [inlmath]n=k[/inlmath], [inlmath]\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}\right )^2<\frac{1}{2}[/inlmath], ali sta dalje kad se dokazuje za [inlmath]n=k+1[/inlmath], da li se ovaj izraz u zagradi prosiruje sa jednim clanom kao i obicno?
Sta kad dobijem
[dispmath]\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}\right)^2<\frac{1}{2}[/dispmath] ?? Ostao sam bez ideja..

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Četvrtak, 06. Jul 2017, 22:13
od Corba248
wolf11 je napisao:Sta kad dobijem
[dispmath]\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}\right)^2<\frac{1}{2}[/dispmath] ?? Ostao sam bez ideja..

Za slučaj [inlmath]n=k+1[/inlmath] se ne dobija ovo.

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Četvrtak, 06. Jul 2017, 22:30
od wolf11
Zar ne trebam dodati jos jedan clan na kraj?? Sta se onda dodaje?

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Četvrtak, 06. Jul 2017, 22:58
od Corba248
[dispmath]\left(\frac{1}{k+{\color{red}2}}+\frac{1}{k+{\color{red}3}}+\cdots+\frac{1}{2k+{\color{red}2}}\right)^2<\frac{1}{2}[/dispmath]

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Četvrtak, 06. Jul 2017, 23:59
od Daniel
wolfe, posmatraj to ovako: u [inlmath]k[/inlmath]-tom članu niza, unutar zagrade imaš ukupno [inlmath]k[/inlmath] sabiraka (svaki u obliku razlomka). Svaki od imenilaca tih razlomaka za [inlmath]1[/inlmath] je veći od prethodnog. Imenilac prvog sabirka je [inlmath]k+1[/inlmath], a imenilac poslednjeg je [inlmath]k+k[/inlmath], iliti [inlmath]2k[/inlmath].
Znači, kod [inlmath](k+1).[/inlmath] člana niza imenilac prvog sabirka će biti [inlmath](k+1)+1[/inlmath], tj. [inlmath]k+2[/inlmath], dok će svaki sledeći imenilac biti veći za [inlmath]1[/inlmath] od prethodnog, što znači da će sledeći biti [inlmath]k+3[/inlmath], pa [inlmath]k+4[/inlmath] itd. a pošto pošto poslednji imenilac mora biti [inlmath]2(k+1)[/inlmath] tj. [inlmath]2k+2[/inlmath], imenioci pre njega će biti [inlmath]2k-1[/inlmath], [inlmath]2k[/inlmath], [inlmath]2k+1[/inlmath]. I na kraju taj razlomak s imeniocem [inlmath]2k+2[/inlmath].

To je što se tiče principa kako se formira [inlmath](k+1).[/inlmath] član. Međutim, ja lično ne vidim način da se ova nejednakost dokaže indukcijom. Da li se u zadatku sigurno traži da se ovo dokaže baš indukcijom, a ne nekom drugom metodom? Moguće i da ja nešto previđam, ali štos je u tome što je ovaj niz monotono rastući (što se lako može pokazati), a treba dokazati da ako je neki član manji od neke vrednosti, onda će i sledeći član biti manji od te vrednosti – tako da to baš i ne ide indukcijom, jer je taj sledeći član veći od prethodnog člana. Kad bi trebalo dokazati obrnuto – da ako je neki član veći od neke vrednosti onda i sledeći član mora biti veći od te vrednosti – to bi se indukcijom rešavalo rutinski. Jedan takav primer, i to upravo s ovim nizom, imali smo u ovoj temi – znači, tamo je trebalo dokazati da su svi članovi niza počev od [inlmath]n=2[/inlmath] veći od neke vrednosti, što već ima logike (OK, tamo nemamo kvadrat ove sume, ali i ovu tvoju nejednakost možemo zapisati bez kvadrata tako što korenujemo obe strane pa se zadatak svodi na dokazivanje da su svi članovi niza manji od [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]).

Inače, suma unutar zagrade (bez kvadrata) konvergira ka [inlmath]\ln2[/inlmath], što je pokazano ovde, a što upravo i jeste manje (i to vrlo malo manje) od [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]. To jest, kvadrat te sume, tj. leva strana nejednakosti, konvergira ka [inlmath]\ln^22[/inlmath], a pošto je niz monotono rastući, to su svi njegovi članovi manji od [inlmath]\ln^22[/inlmath], a samim tim manji i od [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], jer je [inlmath]\ln^22<\frac{1}{2}[/inlmath].

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Petak, 07. Jul 2017, 01:40
od Corba248
Ako se baš insistira na indukciji, možemo se poslužiti regresivnom indukcijom, odnosno 'sa [inlmath]n[/inlmath] na [inlmath]n-1[/inlmath]'.
Dakle, ako pretpostavimo da tvrđenje važi za [inlmath]k[/inlmath] onda dokazujemo i da važi za [inlmath]k-1[/inlmath]:
[dispmath]n=k\\
\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}\right)^2<\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]n=k-1\\
\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\cdots+\frac{1}{2k-2}\right)^2<\frac{1}{2}[/dispmath] Sada možemo jednu polovinu sa desne strane zameniti sa [inlmath]\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k}\right)^2[/inlmath] jer je, po indukcijskoj pretpostavci, to manje od jedne polovine:
[dispmath]\frac{1}{k}+\cancel{\frac{1}{k+1}+\cdots+\frac{1}{2k-2}}<\cancel{\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2k-2}}+\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}\\
\frac{1}{k}<\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}\\
\frac{1}{\cancel{k}}<\frac{4k-1}{2\cancel{k}\left(2k-1\right)}\\
1<\frac{4k-1}{4k-2}\\
4k-2<4k-1\\
-1<0[/dispmath]
U temi na koju je Daniel linkovao traži se da se dokaže:
[dispmath]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24},\quad n>1[/dispmath] A interesantno je i da važi:
[dispmath]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}<\frac{3}{4},\quad n>1[/dispmath] Ovo možeš da probaš da dokažeš za vežbu.

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Petak, 07. Jul 2017, 13:06
od wolf11
Hvala na detaljnom objasnjenu, mnogo mi znaci. Pokusacu ovaj zadatak svakako nesto kasnije pa cu pitati ponovo ako bude nekakvih poteskoca :D

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Petak, 07. Jul 2017, 13:32
od Corba248
Zapravo, kada se služimo regresivnom indukcijom nije dovoljno dokazati "sa [inlmath]k[/inlmath] na [inlmath]k-1[/inlmath]" kao što sam ja učinio. Potrebno je pre toga dokazati da tvrđenje važi za beskonačno mnogo brojeva. U ovom zadatku, može se dokazati da važi za sve brojeve oblika [inlmath]n=2^k[/inlmath] (ovo može "običnom" indukcijom). Tek nakon toga se sme uraditi ono što sam ja iznad napisao.

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Petak, 07. Jul 2017, 14:15
od wolf11
Corba248 je napisao:Potrebno je pre toga dokazati da tvrđenje važi za beskonačno mnogo brojeva. U ovom zadatku, može se dokazati da važi za sve brojeve oblika [inlmath]n=2^k[/inlmath] (ovo može "običnom" indukcijom).

Nisam razumio sta vam ovo znaci, kako ja znam da to vazi za brojeve oblika [inlmath]n=2^k[/inlmath] ??

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Petak, 07. Jul 2017, 14:30
od Corba248
Dakle, da bismo se poslužili regresivnom indukcijom moramo prvo pokazati da je tvrđenje tačno za beskonačno mnogo brojeva. Brojeva oblika [inlmath]2^k[/inlmath] ima beskonačno mnogo, jer [inlmath]k[/inlmath] može biti bilo koji prirodan broj. Tek nakon što pokažemo da tvrđenje važi za beskonačno mnogo brojeva možemo preći na indukcijski korak (ono što sam ja uradio). Ono što treba da uradiš je da dokažeš da tvrđenje važi za [inlmath]n=2^k[/inlmath], a to ćeš uraditi "običnom" indukcijom:
[dispmath]\left(\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2}+\cdots+\frac{1}{2\cdot2^k}\right)^2<\frac{1}{2}\;\Longrightarrow\;\left(\frac{1}{2^{k+1}+1}+\frac{1}{2^{k+1}+2}+\cdots+\frac{1}{2\cdot2^{k+1}}\right)^2<\frac{1}{2}[/dispmath]

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Petak, 07. Jul 2017, 16:12
od wolf11
Sad je jasno, hvala jos jednom :)

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Petak, 07. Jul 2017, 18:11
od Corba248
Sumnjam da ti je jasno jer sam ja pogrešio :lol: . Ne može se dokazati da je tvrđenje tačno za beskonačno mnogo brojeva onako kako sam ja napisao, a trenutno nemam neku bolju ideju. Dakle, koliko ja vidim, jedino ispravno rešenje ovog zadatka bilo bi primetiti da leva strana jednakosti konvergira ka [inlmath]\ln^22[/inlmath], a potom pokazati da je [inlmath]\ln^22<\frac{1}{2}[/inlmath].

P.S. Ako dosad nisi čuo za regresivnu indukciju, bar nije bilo uzalud.

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Nedelja, 10. Februar 2019, 12:58
od MD03
:text-imnewhere:
Izvinite da li je moguce poslati sliku unutar poruke na ovom forumu i kako?Jer ne znam kako da kucam matematicke izraze ovdje.Imam 2 nejednakosti koje treba dokazati matematickom indukcijom ali nemam ideju kako da ih rijesim.

Re: Matematicka indukcija – nejednakost

PostPoslato: Nedelja, 10. Februar 2019, 21:00
od Daniel
Pozdrav, ovde i ovde možeš pročitati kako se kače slike na forum. Ali, tačkom 14. Pravilnika su predviđene situacije kada se kače slike, dok je tačkom 13. predviđeno da se matematički izrazi i formule kucaju u Latexu (uputstvo). Znači, zadatak ne treba kačiti kao sliku, već ga treba celog otkucati. Naravno, pročitaj i ostale tačke Pravilnika.