Zadatak glasi: Matematičkom indukcijom dokazati nejednakost
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n}[/dispmath] Gde su [inlmath]a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n[/inlmath] pozitivni prirodni brojevi i [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]
Rešenje:
Za [inlmath]n=2[/inlmath], [inlmath]\frac{a_1+a_2}{2}\ge\sqrt{a_1a_2}[/inlmath], tvrđenje je tačno
Neka je [inlmath]n=k[/inlmath]:
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k}{k}\ge\sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k}[/dispmath] Za [inlmath]n=k+1[/inlmath] imamo:
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k+a_{k+1}}{k+1}\ge\sqrt[k+1]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k\cdot a_{k+1}}[/dispmath] Uzimamo levu stranu:
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k+a_{k+1}}{k+1}=\frac{k\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k}{k}+a_{k+1}}{k+1}\ge\frac{k\cdot\sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k}+a_{k+1}}{k+1}[/dispmath] Ako se uvedu smene
[inlmath]a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k=x^{k(k+1)}[/inlmath], [inlmath]a_{k+1}=y^{k+1}[/inlmath] tada je
[dispmath]\frac{k\cdot\sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k}+a_{k+1}}{k+1}-\sqrt[k+1]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_{k+1}}=[/dispmath][dispmath]=\frac{kx^k+y^{k+1}}{k+1}-x^ky=\frac{kx^{k+1}+y^{k+1}-kx^ky-yx^k}{k+1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{kx^k(x-y)-y\left(x^k-y^k\right)}{k+1}=\frac{(x-y)\left(kx^k-yx^{k-1}-y^2x^{k-2}\cdots y^k\right)}{k+1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{(x-y)\left(x^k-yx^{k-1}+x^ky^{k-2}+\cdots+x^k-y^k\right)}{k+1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{(x-y)^2\Bigl(x^{k-1}+x^{k-2}(x+y)+x^{k-3}\left(x^2+xy+y^2\right)+\cdots+\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+\cdots+y^{k-1}\right)\Bigr)}{k+1}>0[/dispmath] što znači da je
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n}[/dispmath] Znak jednakosti važi ako je [inlmath]a_1=a_2=a_3=\cdots=a_n[/inlmath]
Inače u ovom zadatku smo dokazivali nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine [inlmath](A>G)[/inlmath]
Razumite me ako pronađete neku grešku