Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Dokazivanje nejednakosti

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]
  • +1

Dokazivanje nejednakosti

Postod kazinski » Četvrtak, 14. Septembar 2017, 22:18

Zadatak glasi: Matematičkom indukcijom dokazati nejednakost
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n}[/dispmath] Gde su [inlmath]a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n[/inlmath] pozitivni prirodni brojevi i [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]

Rešenje:

Za [inlmath]n=2[/inlmath], [inlmath]\frac{a_1+a_2}{2}\ge\sqrt{a_1a_2}[/inlmath], tvrđenje je tačno


Neka je [inlmath]n=k[/inlmath]:
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k}{k}\ge\sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k}[/dispmath] Za [inlmath]n=k+1[/inlmath] imamo:
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k+a_{k+1}}{k+1}\ge\sqrt[k+1]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k\cdot a_{k+1}}[/dispmath] Uzimamo levu stranu:
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k+a_{k+1}}{k+1}=\frac{k\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k}{k}+a_{k+1}}{k+1}\ge\frac{k\cdot\sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k}+a_{k+1}}{k+1}[/dispmath] Ako se uvedu smene
[inlmath]a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k=x^{k(k+1)}[/inlmath], [inlmath]a_{k+1}=y^{k+1}[/inlmath] tada je
[dispmath]\frac{k\cdot\sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k}+a_{k+1}}{k+1}-\sqrt[k+1]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_{k+1}}=[/dispmath][dispmath]=\frac{kx^k+y^{k+1}}{k+1}-x^ky=\frac{kx^{k+1}+y^{k+1}-kx^ky-yx^k}{k+1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{kx^k(x-y)-y\left(x^k-y^k\right)}{k+1}=\frac{(x-y)\left(kx^k-yx^{k-1}-y^2x^{k-2}\cdots y^k\right)}{k+1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{(x-y)\left(x^k-yx^{k-1}+x^ky^{k-2}+\cdots+x^k-y^k\right)}{k+1}=[/dispmath][dispmath]=\frac{(x-y)^2\Bigl(x^{k-1}+x^{k-2}(x+y)+x^{k-3}\left(x^2+xy+y^2\right)+\cdots+\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+\cdots+y^{k-1}\right)\Bigr)}{k+1}>0[/dispmath] što znači da je
[dispmath]\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n}[/dispmath] Znak jednakosti važi ako je [inlmath]a_1=a_2=a_3=\cdots=a_n[/inlmath]

Inače u ovom zadatku smo dokazivali nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine [inlmath](A>G)[/inlmath]
Razumite me ako pronađete neku grešku :)
Korisnikov avatar
 
Postovi: 26
Zahvalio se: 16 puta
Pohvaljen: 18 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Daniel » Subota, 16. Septembar 2017, 00:49

Svidela mi se ideja, :thumbup: samo bih malo prokomentarisao par stvari.

kazinski je napisao:Za [inlmath]n=2[/inlmath], [inlmath]\frac{a_1+a_2}{2}\ge\sqrt{a_1a_2}[/inlmath], tvrđenje je tačno

Ne znam da li si ovde ovu nejednakost uzimao kao poznatu kad je u pitanju AG-nejednakost s dva člana. Pretpostavljam da se ona ipak ne bi smela uzimati kao poznata, ali se ista lako dokazuje prebacivanjem dvojke na desnu stranu i kvadriranjem (ne moramo se petljati s uslovima pri kvadriranju, budući da je dato da su članovi pozitivni).

kazinski je napisao:[dispmath]\frac{k\cdot\sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k}+a_{k+1}}{k+1}-\sqrt[k+1]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_{k+1}}=[/dispmath][dispmath]=\frac{kx^{\color{red}k}+y^{k+1}}{k+1}-x^ky=\frac{kx^{k+1}+y^{k+1}-kx^ky-yx^k}{k+1}=[/dispmath]

Umesto ovog crvenog [inlmath]k[/inlmath], smenom [inlmath]a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_k=x^{k(k+1)}[/inlmath] dobija se [inlmath]kx^{k+1}[/inlmath]. Verovatno samo greška pri kucanju, budući da je već u narednom koraku napisano ispravno. Ako se slažeš, ispraviću to u tvom postu.

E, sad bih naredne korake (koji su sasvim tačni) malo pojasnio, zbog ostalih koji budu čitali (budući da je, bar meni, trebalo neko vreme da ih skontam).
kazinski je napisao:[dispmath]=\frac{kx^k(x-y)-y\left(x^k-y^k\right)}{k+1}=\frac{(x-y)\left(kx^k-yx^{k-1}-y^2x^{k-2}\cdots y^k\right)}{k+1}=[/dispmath]

Primena formule [inlmath]x^k-y^k=(x-y)\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+x^{k-3}y^2+\cdots+x^2y^{k-3}+xy^{k-2}+y^{k-1}\right)[/inlmath], uz malo sređivanja...

kazinski je napisao:[dispmath]=\frac{(x-y)\left(x^k-yx^{k-1}+x^ky^{k-2}+\cdots+x^k-y^k\right)}{k+1}=[/dispmath]

Ovde je [inlmath]kx^k[/inlmath] iz prethodnog koraka napisano kao [inlmath]\underbrace{x^k+x^k+\cdots+x^k}_{k\text{ sabiraka}}[/inlmath] i (mada to iz ovakvog zapisa nije baš vidljivo) svako [inlmath]x^k[/inlmath] je grupisano sa svakim od preostalih sabiraka:
[dispmath]=\frac{(x-y)\left(x^k-yx^{k-1}+x^k-y^2x^{k-2}+x^k-y^3x^{k-3}-\cdots+x^k-x^2y^{k-2}+x^k-xy^{k-1}+x^k-y^k\right)}{k+1}=\\
=\frac{(x-y)\left(x^{k-1}(x-y)+x^{k-2}\left(x^2-y^2\right)+\cdots+x^2\left(x^{k-2}-y^{k-2}\right)+x\left(x^{k-1}-y^{k-1}\right)+x^k-y^k\right)}{k+1}=[/dispmath] pa se onda svaki od ovih izraza u zagradi [inlmath](x-y)[/inlmath], [inlmath]\left(x^2-y^2\right)[/inlmath], ..., [inlmath]x^k-y^k[/inlmath] faktoriše po istoj onoj formuli pri čemu se kao prvi faktor dobije [inlmath]x-y[/inlmath] koji izađe ispred zagrade i zajedno s već postojećim [inlmath]x-y[/inlmath] daje [inlmath](x-y)^2[/inlmath], čime se dođe do ovog poslednjeg koraka:
kazinski je napisao:[dispmath]=\frac{(x-y)^2\Bigl(x^{k-1}+x^{k-2}(x+y)+x^{k-3}\left(x^2+xy+y^2\right)+\cdots+\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+\cdots+y^{k-1}\right)\Bigr)}{k+1}>0[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Corba248 » Nedelja, 17. Septembar 2017, 16:17

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine se još lakše dokazuje pomoću regresivne indukcije koju pominjah ovde.
Samo bih ispravio nekoliko nepreciznosti:
kazinski je napisao:Znak jednakosti važi ako je [inlmath]a_1=a_2=a_3=\cdots=a_n[/inlmath]

Ovo možemo malo proširiti jer znak jednakosti važi ako i samo ako je [inlmath]a_1=a_2=a_3=\cdots=a_n[/inlmath].

kazinski je napisao:Inače u ovom zadatku smo dokazivali nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine [inlmath](A{\color{red}>}G)[/inlmath]

Kao što iznad napisasmo trebalo bi da bude [inlmath]A\ge G[/inlmath] gde su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]G[/inlmath] respektivno oznake za aritmetičku i geometrijsku sredinu.

kazinski je napisao:Gde su [inlmath]a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n[/inlmath] pozitivni prirodni brojevi

Pozitivni prirodni brojevi? :?: Možda su tako hteli da izbegnu nulu? Ovo mi je pomalo nejasno jer AG nejednakost važi za sve nenegativne realne brojeve [inlmath]a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n[/inlmath].
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 314
Zahvalio se: 37 puta
Pohvaljen: 352 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 21 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:49 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs