Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Odredi sve dvocifrene brojeve...

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]
  • +1

Odredi sve dvocifrene brojeve...

Postod Igor » Sreda, 20. Septembar 2017, 16:30

Zadatak: Odrediti sve dvocifrene brojeve koji su jednaki zbiru kuba svoje cifre desetica i kvadrata svoje cifre jedinica.
Časopis Tangetna (broj: 84/4; godina: 2015/2016, Nagradni zadaci)

Rešenje

[inlmath]n[/inlmath] – dvocifreni broj
[inlmath]a[/inlmath] – cifra desetica
[inlmath]b[/inlmath] – cifra jedinica
[inlmath]n=10\cdot a+b[/inlmath]
[inlmath]n=a^3+b^2[/inlmath], po uslovu zadatka
Pošto je [inlmath]n[/inlmath] dvocifreni broj, [inlmath]a[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]5[/inlmath]. Za [inlmath]a=5[/inlmath] ili više od pet, na treći stepen dobijaju se brojevi veći od sto, pa [inlmath]n[/inlmath] ne bi više bio dvocifren.
Dakle, [inlmath]1\le a\le4[/inlmath], i naravno [inlmath]a[/inlmath] je prirodan broj (cifra desetica).
Na osnovu prethodne dve jednačine možemo pisati:
[dispmath]a^3+b^2=10\cdot a+b[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{b^2–b+a^3–10a=0}[/dispmath] U ovu jednačinu ćemo ubacivati četiri moguće vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] ([inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath]), a zatim ćemo rešavati kvadratnu jednačinu po [inlmath]b[/inlmath]. Kada za [inlmath]b[/inlmath] dobijemo prirodan broj (ili [inlmath]0[/inlmath]) to rešenje ćemo priznati.
Za [inlmath]\enclose{box}{a=2}[/inlmath] dobija se jednačina: [inlmath]b^2–b–12=0[/inlmath]
[dispmath]b_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{1\pm7}{2}[/dispmath] [inlmath]\enclose{box}{b_1=4}[/inlmath], [inlmath]b_2=-3[/inlmath] ([inlmath]-3[/inlmath] nije prirodan broj, ovo rešenje se odbacuje)

Za ostale vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] ([inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath]) dobijaju se jednačine po [inlmath]b[/inlmath] čija rešenja nisu prirodni brojevi.

Dakle, jedino rešenje zadatka je broj [inlmath]\LARGE{\color{red}24}[/inlmath].
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 89
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 76 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Odredi sve dvocifrene brojeve...

Postod Daniel » Sreda, 20. Septembar 2017, 18:47

Ja sam to ovako. Isto sam krenuo od jednačine [inlmath]a^3+b^2=10a+b[/inlmath] (gde je [inlmath]a\in[1,9][/inlmath] i [inlmath]b\in[0,9][/inlmath]), pregrupisavanjem sam dobio
[dispmath]10a-a^3=b^2-b\\
a\left(10-a^2\right)=b(b-1)[/dispmath] i onda zaključio: [inlmath]b(b-1)[/inlmath] ne može biti negativno, znači, ni [inlmath]a\left(10-a^2\right)[/inlmath] ne može biti negativno. Pošto je [inlmath]a[/inlmath] pozitivno, sledi da [inlmath]10-a^2[/inlmath] ne može biti negativno, tj. da [inlmath]a[/inlmath] može biti jedino [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath].
Osim toga, [inlmath]b(b-1)[/inlmath] mora biti parno (jer je to proizvod dva uzasopna cela broja), pa mora biti parno i [inlmath]a\left(10-a^2\right)[/inlmath]. Ako bi [inlmath]a[/inlmath] bilo neparno, oba faktora u ovom proizvodu će biti neparna, pa će i proizvod biti neparan. Prema tome, [inlmath]a[/inlmath] mora biti parno, a pošto smo za [inlmath]a[/inlmath] prethodno „suzili obruč“ na [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], ostaje nam jedino [inlmath]a=2[/inlmath] kao kandidat za rešenje. Leva strana jednačine, [inlmath]a\left(10-a^2\right)[/inlmath], tada je jednaka [inlmath]12[/inlmath], pa je preostalo samo naći [inlmath]b[/inlmath] takvo da i desna strana, [inlmath]b(b-1)[/inlmath], bude jednaka [inlmath]12[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 30 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 19:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs