Zadatak: Odrediti sve dvocifrene brojeve koji su jednaki zbiru kuba svoje cifre desetica i kvadrata svoje cifre jedinica.
Časopis Tangetna (broj: 84/4; godina: 2015/2016, Nagradni zadaci)
Rešenje
[inlmath]n[/inlmath] – dvocifreni broj
[inlmath]a[/inlmath] – cifra desetica
[inlmath]b[/inlmath] – cifra jedinica
[inlmath]n=10\cdot a+b[/inlmath]
[inlmath]n=a^3+b^2[/inlmath], po uslovu zadatka
Pošto je [inlmath]n[/inlmath] dvocifreni broj, [inlmath]a[/inlmath] mora biti manje od [inlmath]5[/inlmath]. Za [inlmath]a=5[/inlmath] ili više od pet, na treći stepen dobijaju se brojevi veći od sto, pa [inlmath]n[/inlmath] ne bi više bio dvocifren.
Dakle, [inlmath]1\le a\le4[/inlmath], i naravno [inlmath]a[/inlmath] je prirodan broj (cifra desetica).
Na osnovu prethodne dve jednačine možemo pisati:
[dispmath]a^3+b^2=10\cdot a+b[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{b^2–b+a^3–10a=0}[/dispmath] U ovu jednačinu ćemo ubacivati četiri moguće vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] ([inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath]), a zatim ćemo rešavati kvadratnu jednačinu po [inlmath]b[/inlmath]. Kada za [inlmath]b[/inlmath] dobijemo prirodan broj (ili [inlmath]0[/inlmath]) to rešenje ćemo priznati.
Za [inlmath]\enclose{box}{a=2}[/inlmath] dobija se jednačina: [inlmath]b^2–b–12=0[/inlmath]
[dispmath]b_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{1\pm7}{2}[/dispmath] [inlmath]\enclose{box}{b_1=4}[/inlmath], [inlmath]b_2=-3[/inlmath] ([inlmath]-3[/inlmath] nije prirodan broj, ovo rešenje se odbacuje)
Za ostale vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] ([inlmath]1[/inlmath], [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath]) dobijaju se jednačine po [inlmath]b[/inlmath] čija rešenja nisu prirodni brojevi.
Dakle, jedino rešenje zadatka je broj [inlmath]\LARGE{\color{red}24}[/inlmath].