Matematicka indukcija – deljivost sa 9

PostPoslato: Ponedeljak, 09. April 2018, 20:02
od Ena
Pozdrav :) Trebala bi mi pomoc oko resavanja ovog zadatka..
Matematickom indukcijom dokazati da broj [inlmath]9[/inlmath] dijeli
[dispmath]10^{n+1}+3\cdot10^n+5,\;\forall n\in\mathbb{N}[/dispmath] Prvi korak cu preskociti jer je lako, zakocim na trecem :(
2. [dispmath]10^{n+1}+3\cdot10^n+5=9a,\;a\in\mathbb{N}[/dispmath] 3.
[dispmath]10^{n+2}+3\cdot10^{n+1}+5\\
10\cdot\left(10^{n+1}+3\cdot10^n+5-3\cdot10^n-5\right)+3\cdot10^{n+1}+5\\
10\cdot\left(9a-3\cdot10^n-5\right)+3\cdot10^{n+1}+5\\
90a-3\cdot10^n\cdot10-50+\left(3\cdot10^n\right)\cdot10+5[/dispmath] Odavde sta god dalje da pokusam ne znam kako da pokazem da se izraz moze zapisati kao u drugom koraku

Re: Matematicka indukcija – deljivost sa 9

PostPoslato: Ponedeljak, 09. April 2018, 20:30
od Corba248
Potrebno je dokazati da je [inlmath]10^{n+2}+3\cdot10^{n+1}+5[/inlmath] deljivo sa [inlmath]9[/inlmath] na osnovu pretpostavke da je [inlmath]10^{n+1}+3\cdot10^n+5[/inlmath] deljivo sa [inlmath]9[/inlmath]. Uz malo nameštanja vidimo da je [inlmath]10^{n+2}+3\cdot10^{n+1}+5=10\cdot\left(10^{n+1}+3\cdot10^n+5\right)-45[/inlmath], što u kombinaciji sa našom pretpostavkom dovodi do kraja dokaza koji ostavljam tebi.
Možda je i bilo za nijansu lakše da smo početni izraz napisali kao [inlmath]13\cdot10^n+5[/inlmath] (samo manje pisanja).

Re: Matematicka indukcija – deljivost sa 9

PostPoslato: Ponedeljak, 09. April 2018, 23:27
od Ena
Corba248 je napisao:Uz malo nameštanja vidimo da je [inlmath]10^{n+2}+3\cdot10^{n+1}+5=10\cdot\left(10^{n+1}+3\cdot10^n+5\right)-45[/inlmath], što u kombinaciji sa našom pretpostavkom dovodi do kraja dokaza koji ostavljam tebi.

bas sam zakocila kod ovog namestanja..

Re: Matematicka indukcija – deljivost sa 9

PostPoslato: Utorak, 10. April 2018, 23:32
od Corba248
Dodao bih još da bi u slučaju da nije naglašeno na koji način je potrebno rešiti zadatak najjednostavnije bilo posmatrati ostatke pri deljenju sa [inlmath]9[/inlmath] imajući u vidu da važi [inlmath]a\equiv b\pmod m\;\Longrightarrow\;a^n\equiv b^n\pmod m[/inlmath].