Indukcija – dokazati jednakost

PostPoslato: Ponedeljak, 10. Septembar 2018, 09:35
od binomnaformula
Pozdrav svima. Trebala bi mi pomoc oko jednog zadatka. Dokazati primenom matematicke indukcije [inlmath]1+3+\cdots+(2n-1)^2=n^2[/inlmath]. Zadatak resavam tako sto prvo ubacujem [inlmath]1[/inlmath] i dobijam: [inlmath](2\cdot1-1)^2=1^2[/inlmath] sto jeste tacno. U sledecem koraku, treba da dokazem isto za [inlmath]n+1[/inlmath]. Posto sam vec dokazao da je leva strana jednaka [inlmath]n^2[/inlmath] onda pisem ovako: [inlmath]n^2+\bigl(2(n+1)-1\bigr)^2=(n+1)^2[/inlmath]. Sada treba da dokazem ovu jednakost, ali ovde sam stao jer ne znam kako to da uradim. Mogu da napravim sledeci korak i da zapisem ovako: [inlmath]n^2+(2n+1)^2=(n+1)^2[/inlmath], ali ne znam kako dalje. Hvala unapred.

Re: Indukcija – dokazati jednakost

PostPoslato: Ponedeljak, 10. Septembar 2018, 10:50
od Daniel
binomnaformula je napisao:Posto sam vec dokazao da je leva strana jednaka [inlmath]n^2[/inlmath]

Mala ispravka – nisi dokazao, već si pretpostavio. Upravo zato se taj korak i zove indukcijska pretpostavka. Dokazao si samo za [inlmath]n=1[/inlmath].

binomnaformula je napisao:onda pisem ovako: [inlmath]n^2+\bigl(2(n+1)-1\bigr)^2=(n+1)^2[/inlmath].

I, uvrštavanjem [inlmath]n=1[/inlmath] možeš videti da ta jednakost nije tačna. Znači, već tu nešto nije u redu.
Jednakost koju treba dokazati, zapravo, ne glasi [inlmath]1+3+\cdots+(2n-1)^2=n^2[/inlmath], već glasi [inlmath]1+3+\cdots+(2n-1)=n^2[/inlmath] – bez kvadrata na levoj strani (što se može i pokazati formulom za sumu aritmetičkog niza). Nakon te ispravke, jednakost do koje si došao svodi se na [inlmath]n^2+(2n+1)=(n+1)^2[/inlmath], čime si zapravo i završio dokaz.

Re: Indukcija – dokazati jednakost

PostPoslato: Utorak, 11. Septembar 2018, 10:46
od binomnaformula
Hvala puno na pomoci.