Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Deljivost brojeva

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Deljivost brojeva

Postod Cinderella » Utorak, 08. Januar 2019, 14:16

Spremam se za natprevar i zaglavila sam na jednu zadacu.
Dokazi [inlmath]6\mid\left(n^3+5n\right)[/inlmath]
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Deljivost brojeva

Postod Daniel » Utorak, 08. Januar 2019, 14:39

Primeni matematičku indukciju.
Molim te da ubuduće vodiš računa o forumskom Pravilniku – tačka 6. Budući da ti je ovo prvi post, ovaj put ga nisam uklonio.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Deljivost brojeva

Postod Daniel » Ponedeljak, 28. Januar 2019, 08:44

Dva načina bez matematičke indukcije (meni lično nešto zanimljivija nego s indukcijom):

Prvi način:
[inlmath]n^3+5n[/inlmath] napišemo kao [inlmath]n\left(n^2+5\right)[/inlmath]. Odmah uočavamo da je ovaj proizvod deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], jer kada je [inlmath]n[/inlmath] neparno tada je [inlmath]\left(n^2+5\right)[/inlmath] parno, kao i obrnuto. Potrebno je još dokazati da je ovaj proizvod deljiv i sa [inlmath]3[/inlmath]. Razmatramo svaki od mogućih slučajeva [inlmath]n=3k[/inlmath], [inlmath]n=3k+1[/inlmath] i [inlmath]n=3k+2[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] nenegativan ceo broj ([inlmath]k\in\mathbb{N}_0[/inlmath]):
  • [inlmath]n=3k[/inlmath]: Prvi činilac, [inlmath]n[/inlmath], deljiv je sa [inlmath]3[/inlmath], tako da je i ceo proizvod deljiv sa [inlmath]3[/inlmath];
  • [inlmath]n=3k+1[/inlmath]: Činilac [inlmath]\left(n^2+5\right)[/inlmath] tada postaje [inlmath](3k+1)^2+5=9k^2+6k+6=3\left(3k^2+2k+2\right)[/inlmath], čime je dokazano da je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath];
  • [inlmath]n=3k+2[/inlmath]: Činilac [inlmath]\left(n^2+5\right)[/inlmath] tada postaje [inlmath](3k+2)^2+5=9k^2+12k+9=3\left(3k^2+4k+3\right)[/inlmath], čime je dokazano da je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].


Drugi način:
[inlmath]n^3+5n[/inlmath] transformišemo na sledeći način:
[dispmath]\begin{align}
n^3+5n&=\underbrace{n^3+3n^2+3n+1}_{(n+1)^3}-3n^2+2n-1\\
&=(n+1)^3-3n^2-3n+5n+5-6\\
&=(n+1)^3-3n(n+1)+5(n+1)-6\\
&=(n+1)\left((n+1)^2-3n+5\right)-6\\
&=(n+1)\left(n^2-n+6\right)-6\\
&=(n+1)\left(n^2-n\right)+6(n+1)-6\\
&=(n+1)n(n-1)+6n
\end{align}[/dispmath] [inlmath](n+1)n(n-1)[/inlmath] predstavlja proizvod tri uzastopna prirodna broja, od kojih tačno jedan mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], pa je samim tim i taj proizvod deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Takođe, mora biti deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath], jer je bar jedan od ta tri uzastopna prirodna broja paran broj. Prema tome, [inlmath](n+1)n(n-1)[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], pa je i ceo dobijeni izraz, [inlmath](n+1)n(n-1)+6n[/inlmath], deljiv sa [inlmath]6[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

  • +1

Re: Deljivost brojeva

Postod bobanex » Ponedeljak, 28. Januar 2019, 12:09

[dispmath]n^3+5n=\left(n^3-n\right)+6n\\
n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)[/dispmath] Ili ovako :)
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 488
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 496 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Avgust 2019, 22:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs