Deljivost brojeva

PostPoslato: Utorak, 08. Januar 2019, 13:16
od Cinderella
Spremam se za natprevar i zaglavila sam na jednu zadacu.
Dokazi [inlmath]6\mid\left(n^3+5n\right)[/inlmath]

Re: Deljivost brojeva

PostPoslato: Utorak, 08. Januar 2019, 13:39
od Daniel
Primeni matematičku indukciju.
Molim te da ubuduće vodiš računa o forumskom Pravilniku – tačka 6. Budući da ti je ovo prvi post, ovaj put ga nisam uklonio.

Re: Deljivost brojeva

PostPoslato: Ponedeljak, 28. Januar 2019, 07:44
od Daniel
Dva načina bez matematičke indukcije (meni lično nešto zanimljivija nego s indukcijom):

Prvi način:
[inlmath]n^3+5n[/inlmath] napišemo kao [inlmath]n\left(n^2+5\right)[/inlmath]. Odmah uočavamo da je ovaj proizvod deljiv sa [inlmath]2[/inlmath], jer kada je [inlmath]n[/inlmath] neparno tada je [inlmath]\left(n^2+5\right)[/inlmath] parno, kao i obrnuto. Potrebno je još dokazati da je ovaj proizvod deljiv i sa [inlmath]3[/inlmath]. Razmatramo svaki od mogućih slučajeva [inlmath]n=3k[/inlmath], [inlmath]n=3k+1[/inlmath] i [inlmath]n=3k+2[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] nenegativan ceo broj ([inlmath]k\in\mathbb{N}_0[/inlmath]):
  • [inlmath]n=3k[/inlmath]: Prvi činilac, [inlmath]n[/inlmath], deljiv je sa [inlmath]3[/inlmath], tako da je i ceo proizvod deljiv sa [inlmath]3[/inlmath];
  • [inlmath]n=3k+1[/inlmath]: Činilac [inlmath]\left(n^2+5\right)[/inlmath] tada postaje [inlmath](3k+1)^2+5=9k^2+6k+6=3\left(3k^2+2k+2\right)[/inlmath], čime je dokazano da je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath];
  • [inlmath]n=3k+2[/inlmath]: Činilac [inlmath]\left(n^2+5\right)[/inlmath] tada postaje [inlmath](3k+2)^2+5=9k^2+12k+9=3\left(3k^2+4k+3\right)[/inlmath], čime je dokazano da je deljiv sa [inlmath]3[/inlmath].


Drugi način:
[inlmath]n^3+5n[/inlmath] transformišemo na sledeći način:
[dispmath]\begin{align}
n^3+5n&=\underbrace{n^3+3n^2+3n+1}_{(n+1)^3}-3n^2+2n-1\\
&=(n+1)^3-3n^2-3n+5n+5-6\\
&=(n+1)^3-3n(n+1)+5(n+1)-6\\
&=(n+1)\left((n+1)^2-3n+5\right)-6\\
&=(n+1)\left(n^2-n+6\right)-6\\
&=(n+1)\left(n^2-n\right)+6(n+1)-6\\
&=(n+1)n(n-1)+6n
\end{align}[/dispmath] [inlmath](n+1)n(n-1)[/inlmath] predstavlja proizvod tri uzastopna prirodna broja, od kojih tačno jedan mora biti deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], pa je samim tim i taj proizvod deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Takođe, mora biti deljiv i sa [inlmath]2[/inlmath], jer je bar jedan od ta tri uzastopna prirodna broja paran broj. Prema tome, [inlmath](n+1)n(n-1)[/inlmath] je deljiv sa [inlmath]6[/inlmath], pa je i ceo dobijeni izraz, [inlmath](n+1)n(n-1)+6n[/inlmath], deljiv sa [inlmath]6[/inlmath].

Re: Deljivost brojeva

PostPoslato: Ponedeljak, 28. Januar 2019, 11:09
od bobanex
[dispmath]n^3+5n=\left(n^3-n\right)+6n\\
n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)[/dispmath] Ili ovako :)