Stranica 1 od 1

Dati broj djeljiv sa 7

PostPoslato: Četvrtak, 28. Mart 2019, 00:58
od Ojler79532
Zadatak kaže: "Odredi sve prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath] takve da je broj [inlmath]2^n+n^2[/inlmath] djeljiv sa [inlmath]7[/inlmath]."

U rješenju kažu da treba da se posmatraju ostaci pri djeljenju sa [inlmath]7[/inlmath], ali mi nije jasno. Nema takvih brojeva.

Re: Dati broj djeljiv sa 7

PostPoslato: Utorak, 02. April 2019, 18:13
od Daniel
Da, rešenje je da nema rešenja. Prvi sabirak, [inlmath]2^n[/inlmath], pri deljenju sa [inlmath]7[/inlmath] daje ostatke koji se ponavljaju s periodom [inlmath]3[/inlmath] i iznose [inlmath]2,4,1[/inlmath] (kako [inlmath]n[/inlmath] ide od [inlmath]3k-2[/inlmath] do [inlmath]3k[/inlmath], [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]).

Da je [inlmath]2^{3n}\equiv_71[/inlmath] lako se pokazuje indukcijom (koristeći osobinu multiplikativnosti [inlmath]a\equiv_m b\;\land\;c\equiv_md\;\Longrightarrow\;ac\equiv_m bd[/inlmath]), a zatim se može pokazati i da je periodičnost [inlmath]3[/inlmath] tako što se, koristeći istu osobinu, pokaže i [inlmath]2^{3n+1}\equiv_72[/inlmath] i [inlmath]2^{3n+2}\equiv_74[/inlmath].

Drugi sabirak, [inlmath]n^2[/inlmath], pri deljenju sa [inlmath]7[/inlmath] daje ostatke koji se ponavljaju s periodom [inlmath]7[/inlmath] (što se takođe lako dokazuje) i iznose [inlmath]1,4,2,2,4,1,0[/inlmath] (kako [inlmath]n[/inlmath] ide od [inlmath]7k-6[/inlmath] do [inlmath]7k[/inlmath], [inlmath]k\in\mathbb{N}[/inlmath]).

Budući da nijedan od ostataka prvog sabirka ne može pri sabiranju s nekim od ostataka drugog sabirka dati zbir deljiv sa [inlmath]7[/inlmath], sledi da [inlmath]2^n+n^2[/inlmath] nije deljiv sa [inlmath]7[/inlmath] ni za koje prirodno [inlmath]n[/inlmath].