Nakon izvesnog razmišljanja o pitanju koje je postavljeno uvideo sam da sam olako i pogrešno doneo neke zaključke, i zaista primedbe koje je @primus naveo su na mestu, stoga prilažem ispravku svog razmišljanja, koja će, nadam se, otkloniti sve dileme koje su prethodni postovi stvorili i zbog kojih se izvinjavam.
Nakon razmišljanja, istraživanja i konsultacija koje sam sproveo iznosim sledeći zaključak:
izraz [inlmath]x^2+x+p[/inlmath], gde ćemo se držati početnog uslova da je [inlmath]x\in\mathbb{N}[/inlmath], jeste prost broj za svako [inlmath]x<p-1[/inlmath] ako i samo ako je diskriminanta [inlmath]1-4p[/inlmath] jednaka negativnoj vrednosti Hegnerovog broja, gde su Hegnerovi brojevi [inlmath]k\in\{1,2,3,7,11,19,43,67,163\}[/inlmath].
Jedina primedba je da kako mora da važi [inlmath]4p-1=k[/inlmath], brojevi [inlmath]1,2,3[/inlmath] ne ispunjavaju polaznu tvrdnju, te su jedine vrednosti [inlmath]k[/inlmath] koje su primenljive na prethodno tvrđenje [inlmath]k\in\{7,11,19,43,67,163\}[/inlmath] kojima su odgovarajuće vrednosti [inlmath]p=\frac{k+1}{4}\in\{2,3,5,11,17,41\}[/inlmath] (ovo su tzv. Ojlerovi srećni brojevi), što, dakle, daje odgovor i na pitanje vezano za izraz [inlmath]x^2+x+41[/inlmath], gde je [inlmath]p=41[/inlmath], a diskriminanta [inlmath]1-4\cdot41=-163[/inlmath], gde je [inlmath]163[/inlmath] jedan od Hegnerovih brojeva. Ovo tvrđenje dokazao je Rabinovic [inlmath]1913[/inlmath], a njegov dokaz meni je usled složenosti matematičkog aparata koji je koristio nedokučiv.
primus je napisao:Potreban i dovoljan uslov da bi [inlmath]x^2+x+p[/inlmath] bio prost broj jeste da nije deljiv ni sa jednim prostim brojem manjim ili jednakim od [inlmath]\sqrt{x^2+x+p}[/inlmath].
Ja bih rekao sledeće: vrednosti izraza [inlmath]x^2+x+p[/inlmath] za [inlmath]x<p-1[/inlmath] manje su od [inlmath](p-1)^2+p-1+p=p^2[/inlmath]. Da bi [inlmath]x^2+x+p[/inlmath] pod tim uslovima bio prost broj, ne sme biti deljiv sa prostim brojem manjim od [inlmath]\sqrt{p^2}=p[/inlmath]. Moja tvrdnja omogućava da [inlmath]x^2+x+p[/inlmath] može biti deljivo [inlmath]p[/inlmath] i to kada je [inlmath]x=0[/inlmath] (mada mi tu vrednost [inlmath]x[/inlmath] nismo posmatrali u skupu prirodnih brojeva, tako da je ovo samo napomena).
Nadam se da ovoga puta sve rečeno zaista i stoji, ali ukoliko ne stoji, unapred prihvatam sve primebde