Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TEORIJA BROJEVA

Broj delilaca koji su kub nekog prirodnog broja

[inlmath]a^p\equiv a\pmod p,\;a\in\mathbb{Z},\;p\in\mathbb{P}[/inlmath]

Moderator: Corba248

Broj delilaca koji su kub nekog prirodnog broja

Postod ogi12345 » Petak, 31. Maj 2019, 14:34

Zadatak glasi: Koliko delilaca u skupu prirodnih brojeva koji su kub nekog prirodnog broja broj [inlmath]2^3\cdot4^5\cdot6^7[/inlmath]? Rešenje je: S obzirom da je [inlmath]2^3\cdot4^5\cdot6^7=\left(2^3\right)^6\cdot2^2\cdot\left(3^3\right)^2\cdot3[/inlmath] dati broj ima [inlmath]7\cdot3=21[/inlmath] delilac koji je kub nekog prirodnog broja. Nije mi jasno zašto se koristi [inlmath]7\cdot3[/inlmath]?
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Broj delilaca koji su kub nekog prirodnog broja

Postod Jovan111 » Petak, 31. Maj 2019, 15:33

Pozdrav! Ne bih ulazio u tumačenje rešenja već bih zadatak malo opširnije pojasnio.



Ako je broj koji je zadat označen sa [inlmath]n[/inlmath] i za njega važi:
[dispmath]n=2^3\cdot4^5\cdot6^7=2^3\cdot\left(2^2\right)^5\cdot(2\cdot3)^7=2^{20}\cdot 3^7[/dispmath] onda će svaki delilac broja [inlmath]n[/inlmath] biti oblika [inlmath]2^a\cdot3^b[/inlmath], gde je [inlmath]a\le20[/inlmath] i [inlmath]b\le7[/inlmath]. Pošto delioci treba da budu kubovi nekih prirodnih brojeva, onda [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] treba da budu deljivi sa [inlmath]3[/inlmath]. Brojevi [inlmath]a\le20[/inlmath] deljivi sa [inlmath]3[/inlmath] su [inlmath]a\in\{0,3,6,9,12,15,18\}[/inlmath], a brojevi [inlmath]b\le7[/inlmath] deljivi sa [inlmath]3[/inlmath] su [inlmath]b\in\{0,3,6\}[/inlmath]. Prema tome, imamo [inlmath]7[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]b[/inlmath]. Da bismo dobili delioce broja [inlmath]n[/inlmath] koji su kubovi nekih prirodnih brojeva, možemo upariti bilo koju mogućnost za [inlmath]a[/inlmath] sa bilo kojom mogućnošću za [inlmath]b[/inlmath], te je ukupan broj tih parova, a ujedno i ukupan broj delilaca (iz skupa prirodnih brojeva) broja [inlmath]n[/inlmath] koji su kub nekog prirodnog broja [inlmath]7\cdot3=21[/inlmath].



Da bi se uverio da je rezultat tačan možeš i ručno proveriti. Recimo, ako izaberemo [inlmath]a=3[/inlmath] i [inlmath]b=0[/inlmath], onda će delilac broja [inlmath]n[/inlmath] sa takvim vrednostima za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] biti [inlmath]2^3\cdot3^0=8\cdot1=8[/inlmath], što jeste tačno, jer je [inlmath]8[/inlmath] kub broja [inlmath]2[/inlmath].
Korisnikov avatar
Moderator
 
Postovi: 135
Zahvalio se: 45 puta
Pohvaljen: 156 puta

Re: Broj delilaca koji su kub nekog prirodnog broja

Postod Daniel » Nedelja, 02. Jun 2019, 01:40

A što se tiče oblika koji je dat u rešenju,
ogi12345 je napisao:S obzirom da je [inlmath]2^3\cdot4^5\cdot6^7=\left(2^3\right)^6\cdot2^2\cdot\left(3^3\right)^2\cdot3[/inlmath]

iz njega možemo uočiti da će oni delioci koji su kubovi prirodnih brojeva biti oblika [inlmath]\left(2^3\right)^m\left(3^3\right)^n[/inlmath], gde je [inlmath]0\le m\le6[/inlmath], [inlmath]0\le n\le2[/inlmath], [inlmath]m,n\in\mathbb{N}_0[/inlmath]. Pošto za [inlmath]m[/inlmath] ima [inlmath]7[/inlmath] mogućih vrednosti a za [inlmath]n[/inlmath] ima [inlmath]3[/inlmath] moguće vrednosti, ukupan broj kombinacija njihovih vrednosti je [inlmath]7\cdot3[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta


Povratak na TEORIJA BROJEVA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Avgust 2019, 21:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs