-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Jovan111 za post:
Daniel
Reputacija: 4.55%
od Jovan111 » Petak, 31. Maj 2019, 14:33
Pozdrav! Ne bih ulazio u tumačenje rešenja već bih zadatak malo opširnije pojasnio.
Ako je broj koji je zadat označen sa [inlmath]n[/inlmath] i za njega važi:
[dispmath]n=2^3\cdot4^5\cdot6^7=2^3\cdot\left(2^2\right)^5\cdot(2\cdot3)^7=2^{20}\cdot 3^7[/dispmath] onda će svaki delilac broja [inlmath]n[/inlmath] biti oblika [inlmath]2^a\cdot3^b[/inlmath], gde je [inlmath]a\le20[/inlmath] i [inlmath]b\le7[/inlmath]. Pošto delioci treba da budu kubovi nekih prirodnih brojeva, onda [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] treba da budu deljivi sa [inlmath]3[/inlmath]. Brojevi [inlmath]a\le20[/inlmath] deljivi sa [inlmath]3[/inlmath] su [inlmath]a\in\{0,3,6,9,12,15,18\}[/inlmath], a brojevi [inlmath]b\le7[/inlmath] deljivi sa [inlmath]3[/inlmath] su [inlmath]b\in\{0,3,6\}[/inlmath]. Prema tome, imamo [inlmath]7[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] mogućnosti za [inlmath]b[/inlmath]. Da bismo dobili delioce broja [inlmath]n[/inlmath] koji su kubovi nekih prirodnih brojeva, možemo upariti bilo koju mogućnost za [inlmath]a[/inlmath] sa bilo kojom mogućnošću za [inlmath]b[/inlmath], te je ukupan broj tih parova, a ujedno i ukupan broj delilaca (iz skupa prirodnih brojeva) broja [inlmath]n[/inlmath] koji su kub nekog prirodnog broja [inlmath]7\cdot3=21[/inlmath].
Da bi se uverio da je rezultat tačan možeš i ručno proveriti. Recimo, ako izaberemo [inlmath]a=3[/inlmath] i [inlmath]b=0[/inlmath], onda će delilac broja [inlmath]n[/inlmath] sa takvim vrednostima za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] biti [inlmath]2^3\cdot3^0=8\cdot1=8[/inlmath], što jeste tačno, jer je [inlmath]8[/inlmath] kub broja [inlmath]2[/inlmath].